POJ 1159--Palindrome(回文序列)

题目要求对于一序列至少加上多上字符能组成一个回文序列，可参考算法导论中LCS的DP证明方法。

设序列为a[i]，b[i][j]为a[i]到a[j]组成的子串插入最少的字符构成的回文序列，设dp[i][j]为最少需要插入字符的数目。

首先证明b[i][j]的始终字符(肯定相同)必定是a[i]，a[j]当中其中一个。

反证：若始终字符为x0，b[i][j] = x0 x1 ...xk a[i] ...a[i] xk ... x1 x0或者x0 x1 .. xk a[j] a[i] .. a[i] a[j] xk .. x1 x0，则我们剥离所有x字符，组成的序列是一个需要插入字符更少的b[i][j]，矛盾。

1. 若i =j，dp[i][j] = 0。
2. 若a[i] = a[j]，则dp[i][j] = dp[i+1][j-1]。同样用反证法，若dp[i][j] < dp[i+1][j-1]，则我们可以去除b[i][j]两头的a[i]（前面已证），得到一个由a[i+1]到a[j-1]新构成的回文序列，此新序列需要插入的字符数等于dp[i][j]，且小于dp[i+1][j-1]，矛盾。
3. 若a[i] != a[j]，假设b[i][j]的头尾字符为a[i]，则我们去除头尾的a[i]，得到一个由a[i+1]到a[j]新构成的回文序列，易知此序列为b[i+1][j]，所以dp[i][j] = dp[i+1][j]+1；同理可证当b[i][j]的头尾为a[j]时，dp[i][j] = dp[i][j-1]+1。
4. 由3可知，当a[i] != a[j]时，dp[i][j] = min{dp[i+1][j]，dp[i][j-1]}+1。

根据转移方程，易知可以使用滚动数组优化内存。

注意：当j = i+1时，dp[i][j] = dp[i+1][i]，若不使用滚动数组，等式右边的值会一直为0，正确。若使用滚动数组，则需要在每次输入更新时初始化滚动数组为0，因为不初始化会使用上次输入的数组值。

#include<cstdio>#include<cstring>#define maxN 6001#define _min(x,y) ((x)<(y)?(x):(y))int main(){    int i,j,N;    char flag;    char str[maxN];    short minNum[2][maxN];    while(~scanf("%d",&N))    {        getchar();        gets(str);        memset(minNum,0,sizeof(minNum));        flag = 1;        for(i = N-1;i >= 0;i--)        {            for(j = i+1;j < N;j++)            {                if(str[i] == str[j])                    minNum[flag][j] = minNum[!flag][j-1];                else                    minNum[flag][j] = _min(minNum[!flag][j],minNum[flag][j-1])+1;            }            flag = !flag;        }        printf("%d\n",minNum[!flag][N-1]);    }    return 0;}