LIS

1、定义

LIS(Longest Increasing Subsequence)，最长上升子序列：对给定的序列A = {a₁, a₂, a₃,...a_n}，找出最长的子序列B = {a_i1, a_i2, a_i3,...,a_im}使得i1<i2<i3<...<im && a_i1<a_i2< a_i3<a_im。

_2、解法

_（1）dp

_{思路：设dp[i]是以A[i]为末尾的上升子序列的长度，则}

dp[i] = max(dp[j]) + 1 (j < i && a[j] < a[i])

初始时，dp[i] = 1。lis = max(dp[i])。这个算法的时间复杂度为O(n²)，空间复杂度为O(n)。

记录路径：使用辅助数组path[i]表示以num[i]结尾的上升子序列中num[i]的前一个数的id。

（2）CMI算法

思路：CMI算法的精髓是用二分，使时间复杂度降到O(nlgn)。该算法维护一个递增的栈s，对于当前元素a[i]：

• a[i] > top(s)，则s.push(a[i])；
• a[i] <= top(s)时，则对s二分搜索一个j，使得s[j] < a[i] <= s[j + 1]，更新s[j + 1] = a[i]；

假设A = {3,4,1,2,3}，模拟：

i = 0, a[i] = 3,s = {3}；

i = 1, a[i] = 4, a[i] > top(s)，则s = {3,4}

i = 3, a[i] = 1, a[i] <= top(s)，二分找到j = 0,s = {1,4}

i = 4, a[i] = 2, a[i] <= top(s)，二分找到j = 1,s = {1,2}

i = 5, a[i] = 3, a[i] > top(s), 则s = {1,2,3}

通过模拟可以看到，a[i] <= top(s)的操作使得栈更具容纳性。

记录路径：用path[i]记录a[i]的前一个id，每次在找到s的插入点时，设置a[i]的path[i]。如果二分搜索到的更新点是j + 1，则path[i] = s[i]。

该算法时间复杂度为O(nlgn)，空间复杂度为O(n)。

3、扩展

Beautiful People n个人a，每个人都有t和b属性，要求找到任意顺序的最长子序列，使得t[i] < t[j] && b[i] < b[j]：

这题题意是任意顺序的最长子序列，跟经典的LIS要求的下标递增不同。先对a按t递增、t相同时按b递减排序，然后对b进行CMI操作。这样排序的好处在：每次在二分并更新s[j + 1]时，可以保证此时的t比s[j]的t要大。

Nested Dolls 套娃，n个娃娃，每个有长w和高h属性，问最少能形成几个套娃。对w按从大小到、h按从小到大排序。然后对h做LIS，最后的长度便为最少的个数。按w从大到小排序，保证了每次加一个的w都比前一个要小，所以肯定能放下；而当w相等时，按h从小到大排序，保证了当连续两个w相等的娃娃比较时，肯定是不能嵌套的。在栈中的每个元素都是独立的一个套娃最里层的h。

Wooden Sticks：跟Netsted Dolls相同，不过它的要求是w1 <= w2 && h1 <= h2，排序的时候w相等时按h递归排就行了。