01背包问题

从以上最大价值的构造过程中可以看出。

f(n,m)=max{f(n-1,m), f(n-1,m-w[n])+P(n,m)}这就是书本上写的动态规划方程.

下面是一种实现过程：（C语言描述）

#include<stdio.h>int c[10][100];/*对应每种情况的最大价值*/int knapsack(int m,int n){ int i,j,w[10],p[10]; for(i=1;i<n+1;i++)        scanf("\n%d,%d",&w[i],&p[i]); for(i=0;i<10;i++)      for(j=0;j<100;j++)           c[i][j]=0;/*初始化数组*/ for(i=1;i<n+1;i++)      for(j=1;j<m+1;j++)           {            if(w[i]<=j) /*如果当前物品的容量小于背包容量*/                     {                      if(p[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])                           /*如果本物品的价值加上背包剩下的空间能放的物品的价值*/                         /*大于上一次选择的最佳方案则更新c[i][j]*/                            c[i][j]=p[i]+c[i-1][j-w[i]];                            else                            c[i][j]=c[i-1][j];                     }              else c[i][j]=c[i-1][j];            } return(c[n][m]);                     }int main(){    int m,n;int i,j;    scanf("%d,%d",&m,&n);    printf("Input each one:\n");    printf("%d",knapsack(m,n));    printf("\n");/*下面是测试这个数组,可删除*/     for(i=0;i<10;i++)      for(j=0;j<15;j++)         {          printf("%d ",c[i][j]);             if(j==14)printf("\n");         }    system("pause");}

下面是思路的基本过程

问题的特点是：每种物品一件，可以选择放1或不放0。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

这个方程非常重要，据说基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以详细的查了一下这个方程的含义：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

在有的地方看到的背包问题题目中，有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。

为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

小结

01背包问题是最基本的背包问题，它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想，另外，别的类型的背包问题往往也可以转换成01背包问题求解。故仔细体会上面基本思路的得出方法，状态转移方程的意