BZOJ1041 圆上的整点 Solution

题意：给定r,求x^2+y^2=r^2的图象上存在多少个整点。

Sol:问题显然可以转化为x^2+y^2=r^2有多少个正整数解。我们考虑如何快速的解出这个方程。

引入本源勾股数组(x,y,z)（x,y,z为正整数）,满足x^2+y^2=z^2且gcd(x,y,z)=1.

我们能够证明一些性质，z为奇数，x,y一奇一偶，不妨设x为奇数,y为偶数，则有z-x为完全平方数的二倍，z-y为完全平方数。

有兴趣的可以自己证一下，当做结论记住也行。

那么我们枚举最大公约数，然后计算对应的本源勾股数组数目。

具体怎么计算看代码，枚举量很小。

最终算出的答案只是1/8个象限，于是*8+4得到最终答案。

Code:

#include <cmath>#include <cstdio>#include <cctype>#include <cstring>#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std; typedef long long LL; inline int gcd(int x, int y) {    return (!y) ? x : gcd(y, x % y);}inline int isint(long long x) {    int tmp = (int)sqrt(x);    if ((LL)tmp * tmp != x)        return -1;    return tmp;} inline int Calc(int z) {    if ((z & 1) == 0)        return 0;    if (z < 5)        return 0;    int res = 0;    int x, y;    for(int i = 1; i * i < z; i += 2) {        x = z - i * i;        y = isint((LL)z * z - (LL)x * x);        if (y == -1 || gcd(z, gcd(x, y)) != 1)            continue;        ++res;    }    return res;} int main() {    int x;    scanf("%d", &x);         if (!x) {        puts("1");        return 0;    }         long long res = 0;    for(int i = 1; i * i <= x; ++i) {        if (x % i == 0) {            res += Calc(x / i);            if (i != x / i)                res += Calc(i);        }    }         printf("%lld", (res << 3) + 4);         return 0;}