[POJ 3311]Hie with the Pie——再谈TSP问题的DP解法

题目连接：



http://poj.org/problem?id=3311

题目大意：有n+1个点,给出点0~n的每两个点之间的距离，求这个图上TSP问题的最小解

思路：用二进制数来表示访问过的城市集合，f[{S}][j]=已经访问过的城市集合为S，访问了j个城市，所需的最少花费。

这里提一下二进制数表示集合的方法（这里不妨设集合中最多有n个元素）：

如果集合S中最多会出现n个元素，则用长度为n的二进制数来表示集合S，每一位代表一个元素，该位为0表示该元素在集合S中不存在，为1表示该元素在集合S中存在

位数 4 3 2 1

S     1 0 1 1

这个集合S里有元素1、2、4

下面是二进制数表示几种集合运算的方法

1、集合S的全集U=(1<<n)-1

2、检查集合S中是否含元素i   S&(1<<(i-1))   (返回0表示不存在，返回1表示存在)

3、从集合S中去除元素i S^(1<<(i-1))

下面是本题的思路：

首先对整个图跑一次Floyd多源最短路，得到两两点之间的最短距离，然后用DP求解，f[{S}][j]=已经访问过的城市集合为S，访问了j个城市，所需的最少花费。f[S][i]=min{f[S-{j}][j]+dist[j][i]}

最后得到的答案ans=min(f[全集][i]+dist[i][0])

代码：

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <string.h>#include <stdlib.h>#include <algorithm>#define MAXN 15#define MAXM 1<<15#define INF 0x3f3f3f3fusing namespace std;int f[MAXM][MAXN]; //f[{S}][j]=已经访问过的城市集合为S，访问了j个城市，所需的最少花费int dist[MAXN][MAXN]; //点与点之间的距离int n;int min(int a,int b){    if(a<b) return a;    return b;}void Floyd(){    for(int k=0;k<=n;k++)        for(int i=0;i<=n;i++)            for(int j=0;j<=n;j++)                dist[i][j]=min(dist[i][j],dist[i][k]+dist[k][j]);}int TSP() //DP求TSP{    memset(f,0x7f,sizeof(f));    for(int s=0;s<(1<<n);s++) //枚举访问城市集合S，全集为(1<<n)-1        for(int i=1;i<=n;i++) //枚举最近访问过的城市i            if(s&(1<<(i-1))) //city(i)∈S            {                if(s==(1<<(i-1))) //{city(i)}==S                    f[s][i]=dist[0][i];                else                {                    for(int j=1;j<=n;j++) //枚举上一次访问的城市j                    if((s&(1<<(j-1)))&&i!=j) //城市j不和i相同                        f[s][i]=min(f[s][i],f[s^(1<<(i-1))][j]+dist[j][i]); //Cs {city(J)}=s^(1<<(i-1))                }            }    int ans=INF;    for(int i=1;i<=n;i++)        ans=min(ans,f[(1<<n)-1][i]+dist[i][0]);    return ans;}int main(){    while(scanf("%d",&n)&&n)    {        memset(dist,0,sizeof(dist));        for(int i=0;i<=n;i++)            for(int j=0;j<=n;j++)                scanf("%d",&dist[i][j]);        Floyd();        printf("%d\n",TSP());    }    return 0;}