讨厌的最大矩形

来源：互联网发布：网络面试题编辑：程序博客网时间：2024/05/02 01:26

最近遇到讨厌的最大矩形问题，很难解决

舞台(drama)
【问题描述】
省运会开幕式表演的舞台需要足够的空间，这样才可以挤得下尽可能多的观
众。现选择了一个可以看做一个N*M 个格子的矩形的地方，每个格子中标着“R”
或“F”，分别表示该格有建筑物或该格为平地可以使用。现希望舞台能够表演
在一块矩形的只包含平地的区域上，并且希望其面积最大。
请你帮助找出面积最大的那块只含平地的矩形，输出其面积。
【输入格式】
输入文件第一行包含了两个整数分别表示N,M。
接下来N 行，每行包含M 个用空格隔开的字符“F”或“R”，描述了地形。
【输出格式】
输出文件包含且仅包含一行，一个整数表示最大的矩形面积。
【输入样例】

5 6
R F F F F F
F F F F F F
R R R F F F
F F F F F F
F F F F F F

【输出样例】
15
【数据规模】
对于50%的数据，1<=N,M<=200
对于100%的数据，1<=N,M<=1000

对于此题，最直接的方法是用O((n*m)^3)，可是，不超时就怪了！！

用2014年普及组初赛试题最后一题的方法，可以，但只能拿60分，O(1000^3)定超时

那用什么方法？首先得了解悬线：

有效竖线：除了两个端点外，不覆盖任何障碍点的竖直线段。
悬线：上端点覆盖了一个障碍点或达到整个矩形上端的有效竖线。
图中所示的线段均为悬线

如果把一个悬线向左右两个方向尽可能移动，就能得到一个矩形，不妨称为这个悬线对应的矩形。
悬线对应的矩形不一定是极大子矩形，因为下边界可能还可以向下扩展：

因为所有悬线对应矩形的集合一定包含了极大子矩形的集合，所以通过通过枚举所有的悬线，找出所有的极大子矩形。

算法：

H[i,j]为点(i,j)对应的悬线的长度。

L[i,j]为点(i,j)对应的悬线向左最多能够移动到的位置

R[i,j]为点(i,j)对应的悬线向右最多能够移动到的位置。

在点(i,j)不是障碍点时：

1.如果(i－1,j)为障碍点，

那么(i,j)对应的悬线长度1，左右能移动到的位置是整个矩形的左右边界。
即 H[i,j]＝1,L[i,j]=？,R[i,j]=？（看程序）

2.如果(i－1,j)不是障碍点，

H[i,j]＝H[i-1,j]+1,L[i,j]=max(L[i-1,j], (i-1,j)左边第一个障碍点的位置),

R[i,j]=min(R[i-1,j], (i-1,j)右边第一个障碍点的位置)

ans=max((R[i,j]-L[i,j]-1)*H[i,j]) (1<=i<=n,1<=j<=m)

只需O（m*n）的时间，也不消耗空间，非常不错的好方法!

程序如下：

[plain] view plaincopy
<span style="font-size:18px;">var  
  map:array[0..1001,0..1001]of char;  
  h,le,ri,left,right:array[0..1000,0..1000]of longint; //left:点(i,j)最左边的障碍点，right：点(i,j)最右边的障碍点  
  x:char;  
  n,m,i,j,ans,l,r,max:longint;  
function maxx(a,b:longint):longint;  
begin  
  if a>b then exit(a) else exit(b);  
end;  
function min(a,b:longint):longint;  
begin  
  if a>b then exit(b) else exit(a);  
end;  
begin  
 { assign(input,'drama.in');  
  assign(output,'drama.out');  
  reset(input);rewrite(outpuT);}  
  readln(n,m);  
  for i:=1 to n do  
    begin  
      ans:=0;  
      for j:=1 to 2*m-1 do  
        begin  
          read(x);  
          if x<>' ' then inc(ans);  
          if x='R' then map[i,ans]:='.' else if x='F' then map[i,ans]:='x';  
        end;  
      readln;  
    end;{输入}  
  for i:=0 to n do begin map[i,0]:='.';map[i,m+1]:='.'; end;  
  for i:=0 to m do begin map[0,i]:='.';map[n+1,i]:='.'; end;  
  //在外围围成一堵墙  
  for i:=1 to n do  
    begin  
      l:=0;  
      for j:=1 to m do  
        if map[i,j]='.' then  
          begin  
            l:=j;  
            left[i,j]:=0;  
          end  
        else left[i,j]:=l;  
      r:=m+1;  
      for j:=m downto 1 do  
        if map[i,j]='.' then  
          begin  
            r:=j;  
            right[i,j]:=0;  
          end  
        else right[i,j]:=r;  
    end;  
  //求最右边的障碍点  
  max:=0;  
  for i:=1 to n do  
    for j:=1 to m do  
      if (map[i-1,j]='.')and(map[i,j]<>'.') then  
        begin  
          h[i,j]:=1;  
          le[i,j]:=left[i,j];  
          ri[i,j]:=right[i,j];  
          //上述问号中应该填入的答案  
          if (ri[i,j]-le[i,j]-1)*h[i,j]>max then max:=(ri[i,j]-le[i,j]-1)*h[i,j];  
        end  
      else if (map[i-1,j]<>'.')and(map[i,j]<>'.') then  
        begin  
          h[i,j]:=h[i-1,j]+1;  
          le[i,j]:=maxx(le[i-1,j],left[i,j]);  
          ri[i,j]:=min(ri[i-1,j],right[i,j]);  
          if (ri[i,j]-le[i,j]-1)*h[i,j]>max then max:=(ri[i,j]-le[i,j]-1)*h[i,j];  
        end;  
  //核心思想  
  writeln(max);  
  //close(input);close(output);  
end.</span>  

我用的是pascal

0 0