bzoj3105: [cqoi2013]新Nim游戏 高斯消元

Sol:

我们第一次拿完后，要使得剩下的火柴中不存在异或和为0的子集，否则对方会将先手必败的状态留给我们。

因此我们需要寻求极大的线性无关组，答案即为总和减去极大线性无关组的权值和。

显然存在线性无关组，因此必然存在解。

那么如何求解极大线性无关组呢？

我们能够证明这是一个拟阵，因此只需要从大到小排序，依次贪心的添加到当前集合就可以了。

有关拟阵的证明：
我们设n个火柴堆的数目为集合S,若某个S的子集r不存在任何一个非空子集异或和0，则r∈I.下面我们证明二元组M=(S,I)是一个拟阵。
遗传性：设A∈I,则A是S的线性无关组，则A的任意非空子集均线性无关，即对A的任意子集B,B均线性无关，因此B∈I,证毕。
交换性：设A,B∈I,且|A|<|B|,我们要证明存在x∈B,使得A∪{x}∈I.利用反证法，假设对于任意x∈B-A,均有A∪{x}不属于I,则B-A中的元素均在A的异或空间中，可由A的子集异或和表示。
因此B中的元素都在A的异或空间中。那么必然有B的异或空间包含于A的异或空间。由|A|<|B|且A,B线性无关，显然矛盾。因此交换性存在，证毕。
从而我们可以使用贪心算法确定最优解。

因此我们采用在线维护线性基的方法判断当前的数能否加入集合。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>using namespace std;typedef long long sint;int n,a[1000],save[1000],que[1000],ins[1000],top;sint sum,ans;int main(){    scanf("%d",&n);    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&save[i]);    sort(save+1,save+1+n);    for(int i=1;i<=n;i++)    {        a[i]=save[i];        sum+=a[i];    }    for(int i=n;i;i--)    {        for(int j=30;j>=0;j--)        {            if((a[i]>>j)&1)            {                if(!ins[j])                {                    ins[j]=i;                    for(int t=1;t<=top;t++)                    {                        if ((a[que[t]]>>j) & 1)                            a[que[t]]^=a[i];                    }                    top++;                    que[top]=i;                    break;                }                else                {                    a[i]^=a[ins[j]];                }            }        }        if (a[i])            ans += save[i];    }    printf("%lld\n",sum-ans);    return 0;}