鸡蛋的硬度问题

IMNU OJ 1253--鸡蛋

鸡蛋

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Description

Gardon有一些鸡蛋，他现在想知道这些鸡蛋的硬度。Gardon的家住在一座很高很高的大楼里，他现在要在这座大楼上测试鸡蛋的硬度。每个鸡蛋的硬度相同，鸡蛋的硬度定义为：如果鸡蛋从第m层上掉下来没有破裂，而从第m+1层上掉下来就破裂了，那么这个鸡蛋的硬度就是m。某个鸡蛋如果在实验中破裂了就永远的损失了。那么在最坏情况下他最少需要做多少次实验呢？他的鸡蛋数量是有限的。

Input

输入包括多组数据，每组数据的第一个数是一个整数N，表示Gardon的鸡蛋数量，第二个数是大楼的高度H，如果鸡蛋的硬度超过H，也按照H计算。

Output

对每组输入数据，输出Gardon在最坏的情况下最少的试验次数，当然必须保证鸡蛋的硬度能够被正确测量出来。

Sample Input

2 100  1 10

Sample Output

14  10

类型：动态规划

有关问题的分析，在网上看到一篇写的很好的文章

/*以下为转载内容*/

/*来自http://49px.com/wiki/%E6%A5%BC%E5%B1%82%E6%89%94%E9%B8%A1%E8%9B%8B%E9%97%AE%E9%A2%98*/

楼层扔鸡蛋问题出自Smilingpoplar有限层数和蛋数，求即使最坏情况下需要的最少判断次数

两个软硬程度一样但未知的鸡蛋，它们有可能都在一楼就摔碎，也可能从一百层楼摔下来没事。有座100层的建筑，要你用这两个鸡蛋确定哪一层是鸡蛋可以安全落下的最高位置。可以摔碎两个鸡蛋。（参见两个鸡蛋--一道Google面试题） 

这是典型的动态规划问题。假设f[n]表示从n层楼找到摔鸡蛋不碎安全位置的最少判断次数。假设第一个鸡蛋第一次从第i层扔下，如果碎了，就剩一个鸡蛋，为确定下面楼层中的安全位置，必须从第一层挨着试，还需要i-1次；如果不碎的话，上面还有n-i层，剩下两个鸡蛋，还需要f[n-i]次（子问题，实体n层楼的上n-i层需要的最少判断次数和实体n-i层楼需要的最少判断次数其实是一样的）。因此，最坏情况下还需要判断max(i-1,f[n-i])次。 

状态转移方程：f[n] = min{ 1+max(i-1,f[n-i]) | i=1..n }   初始条件: f[0]=0（或f[1]=1）

实际上，两个鸡蛋的情况用数学方程就可以解决，前提是你知道该怎么扔： 

一种想法是第一个鸡蛋折半搜索，如100层的楼，先从50层扔下去，如果碎了则第二个鸡蛋在1~49层楼中自底向上线性搜索；如果没碎则第一个鸡蛋再从75层扔。如果这次碎了则第二个鸡蛋在51~74层楼中自底向上线性搜索；如果还没碎则第一个鸡蛋再从88层扔，依此类推。这种方法不是最优，因为最坏情况下安全位置恰好是49层，需要尝试50次。 

正确的方法是先假设最少判断次数为x，则第一个鸡蛋第一次从第x层扔（不管碎没碎，还有x-1次尝试机会）。如果碎了，则第二个鸡蛋在1～x-1层中线性搜索，最多x-1次；如果没碎，则第一个鸡蛋第二次从x+(x-1)层扔（现在还剩x-2次尝试机会）。如果这次碎了，则第二个鸡蛋在x+1～x+(x-1)-1层中线性搜索，最多x-2次；如果还没碎第一个鸡蛋再从x+(x-1)+(x-2)层扔，依此类推。x次尝试所能确定的最高楼层数为x+(x-1)+(x-2)+...+1=x(x+1)/2。 

比如100层的楼，只要让x(x+1)/2>=100，得x>=14，最少判断14次。具体地说，100层的楼，第一次从14层开始扔。碎了好说，从第1层开始试。不碎的话还有13次机会，再从14+13=27层开始扔。依此类推，各次尝试的楼层依次为 

14  27 = 14 + 13  39 = 27 + 12  ...  99 = 95 + 4  100

现在推广成n层楼，m个鸡蛋： 

还是动态规划。假设f[n,m]表示n层楼、m个鸡蛋时找到摔鸡蛋不碎的最少判断次数。则一个鸡蛋从第i层扔下，如果碎了，还剩m-1个鸡蛋，为确定下面楼层中的安全位置，还需要f[i-1,m-1]次（子问题）；不碎的话，上面还有n-i层，还需要f[n-i,m]次（子问题，实体n层楼的上n-i层需要的最少判断次数和实体n-i层楼需要的最少判断次数其实是一样的）。 

状态转移方程：f[n,m] = min{ 1+max(f[i-1,m-1], f[n-i,m]) | i＝1..n }  初始条件：f[i,0]=0（或f[i,1]=i），对所有i  

/*以上内容转自http://49px.com/wiki/%E6%A5%BC%E5%B1%82%E6%89%94%E9%B8%A1%E8%9B%8B%E9%97%AE%E9%A2%98*/

下面是我写的一个程序

Source Code 

#include <iostream>  #include <cstdio>  using namespace std;  #define M 100  #define N 100  int dp[101][101];  int main ()  {      int i,j,k,m,n;      memset(dp,0,sizeof(dp));      for(i=1;i<=N;i++)          dp[1][i]=i;      for(j=2;j<=M;j++)          for(k=1;k<=N;k++)          {                  dp[j][k]=1+max(dp[j-1][0],dp[j][k-1]);                  for(i=2;i<=k;i++)                      dp[j][k]=min(dp[j][k],1+max(dp[j-1][i-1],dp[j][k-i]));          }      while(scanf("%d%d",&m,&n)!=EOF)          printf("%d\n",dp[m][n]);      return 0;  }