POJ 2480 : Longge\'s problem - gcd之和

题意：

给出正整数n，计算所有gcd(i,n)   (1<=i<=n) 的和。

分析：

在数论中的积性函数概念：对于正整数n的一个算术函数 f(n)，若f(1)=1，且当a,b互质时f(ab)=f(a)f(b)，在数论上就称它为积性函数。若对于某积性函数 f(n) ，就算a, b不互质，也有f(ab)=f(a)f(b)，则称它为完全积性的。

gcd(i,m*n)=gcd(i,m) * gcd(i,n)，m,n互质，故gcd是乘性函数。乘性函数的和也是乘性函数。

令所求为f(n)，则f(n)=sum(p * phi(n/p)).其中，p是n的因子。则 f(p^r)=r * (p^r - p^(r-1)) + p^r——（#）

将n进行素因子分解，n=p1^k1 * p2^k2 * ... * pm^km.用乘性函数性质解决f(n)=f(p1^k1) * f(p2^k2) * ... * f(pm^km).再套用（#）.

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstdlib>#define LL long longusing namespace std;int main(){LL s,n,i;while(~scanf("%lld",&n)){s=1;LL x,r;for(i=2;i*i<=n;i++)if(n%i==0){x=1;r=0;while(n%i==0){n/=i;x*=i;r++;}s*=(r+1)*x-r*x/i;}if(n>1)s*=(2*n-1);printf("%lld\n",s);}return 0;}