近世代数【第一章 群】1 群的概念

【定义1.1.1】
设G为非空集合，∗为G上的一个代数运算，如果∗满足：
（1）结合律：(a∗b)∗c=a∗(b∗c)；
（2）单位元：存在e∈G，使得对任意a∈G，有e∗a=a∗e=a；
（3）逆元：对任意a∈G，存在b∈G，使得a∗b=b∗a=e。
则称(G,∗)是一个群。如果不关心是什么运算或上下文已指明运算，可简单地说G是一个群。
如果∗还满足对任意a，b∈G有a∗b=b∗a，则称(G,∗)是一个交换群，或Abel（阿贝尔）群。

运算∗通常被称为乘法，但它只是被称为乘法而已，不一定是通常的乘法。当群上的运算用符号∗表示并被称为乘法时，我们一般将a∗b简写为ab。

容易看出，满足（2）的e是唯一的。事实上，如果e1也满足那个条件，则e=ee1=e1。这个e称为G的单位元。
对于a∈G，满足（3）的b也是被a唯一确定的。事实上，如果b1也满足那个条件，则b=be=b(ab1)=(ba)b1=eb1=b1。称b是a的逆元，记为a−1。

对于交换群，有时把其上的运算称为加法，记为a+b，单位元记为0，a的逆元记为−a。当然，用其它符号也可以，这只是一个习惯问题。

对于一个群G，由于G上的运算满足结合律，所以可以定义多个元素的乘积a1a2⋯an。对任意的a∈G，还可以定义a的方幂。设m∈N∗，规定：

am:=aa⋯a（n个），

a0=e，

a−m=(a−1)m。

容易证明对任意n,m∈Z，有anam=an+m和(an)m=anm。

一般来说，(ab)n≠anbn。当然，如果G是交换群，则对任意的a,b∈G和任意的n∈Z，有(ab)n=anbn。

如果群G作为集合是有限集，则称G为有限群，否则称为无限群。群G的元素的个数称为群的阶，记作|G|。

下面是几个群的例子。

实数域R关于实数的加法成为一个群，单位元是0，x的逆元是−x。
非零实数的全体R∖{0} 关于实数的乘法成为一个群，单位元是1，x的逆元是1x。
数域P上的n阶可逆矩阵的全体关于矩阵的乘法成为一个群，单位元是En，A的逆元是A−1。