卡特兰数

卡特兰数又称卡塔兰数，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名。

卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。由以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名，其前几项为 : 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ...

原理

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式[2] ：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0,1,2,...)

应用

矩阵连乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n-1)种)

平衡括号

平衡括号：在一个合法的算术表达式中可以出现的括号都是平衡括号，更专业一点的说法应该是“所有的左括号和右括号可以建立一对一的对应关系，并且左括号在对应的右括号左侧”。像()(), (())(), (()())(()) 都是平衡括号，但是(()))(, ()())() 就不是平衡括号。

观察一下特点，判断所给的一个括号串是不是平衡很容易：设置一个计数器，初始值为 0，然后从左向右数，遇到左括号 +1，遇到右括号 -1，在过程中不出现负数，并且最终的计数器还是 0，那么就是平衡括号；除此之外就是非平衡括号。

现在的问题是，如果有 n 对括号，问平衡的情况有多少种？暂时可以数一下 n = 1, 2, 3, 4 时的情况：

n = 1: ()n = 2: ()(),   (())n = 3: ()()(),  ()(()), (())(), (()()), ((()))n = 4:()()()(), ()()(()), ()(())(), ()(()()), ()((())), (())()(), (())(()), (()())(), ((()))(), (()()()), (()(())), ((())()), ((()())), (((())))

则n对括号就有平衡括号h(n)种。

入栈出栈

问：n 个数入栈出栈，问情况有多少种？

比如全部入进去然后倒退出栈是 1 种；入一个出一个，全部都这样，是 1 种。入栈出栈的情况和n个数相不相同没有关系。因为可以视第一个入栈的为 1，第二个为 2，最后一个为 n。如果是 n 个相同的数的入栈出栈情况，假设数字都是括号，入栈是左括号，出栈是右括号，那么一种入栈出栈情况应该就对应平衡括号中的一种情况，所以，该问题和平衡括号是等价问题。

走方格

问：一个 n*n 的方格，从左下角走到右上角，只能向右和向上走，但是不能绕过左下角和右上角确定的对角线，问有多少种走法？

如果将向右走看做是入一下栈，向上走是出一下栈，不能绕道对角线以上，也就是一种合法的入栈出栈，从左下角开始到右上角，要入 n 次栈出 n 次栈，所以一种走法对应一种 n 个数的入栈出栈情况，于是，此问题和入栈出栈是等价问题；

二叉树的形状

问：n 个结点的二叉树的形状有多少种？

所谓的二叉树，就是有一个根结点，有棵左子树还有一棵右子树。n = 3: ()()(), ()(()), (())(), (()()), ((())) 时的括号匹配，me 们换个角度看这个表示：第一个成对的括号是树根，括号内部的子串和括号右边的子串依然是平衡括号串，把内部的看做是左子树，把右边的看成是右子树，比如(())()对应的是有一个左节点和一个右节点的二叉树，()()() 表示只有右子树的二叉树(右子树只有一个右结点)；如果上面的对应成立(递归证明)，那么二叉树的情况就和平衡括号是等价问题；

凸多边形三角划分

在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f（n）。比如当n=6时，f（6）=14。

分析

如果纯粹从f（4）=2，f（5）=5，f（6）=14，……，f（n）=n慢慢去归纳，恐怕很难找到问题的递推式，我们必须从一般情况出发去找规律。

因为凸多边形的任意一条边必定属于某一个三角形，所以我们以某一条边为基准，以这条边的两个顶点为起点P1和终点Pn（P即Point），将该凸多边形的顶点依序标记为P1、P2、……、Pn，再在该凸多边形中找任意一个不属于这两个点的顶点Pk（2<=k<=n-1），来构成一个三角形，用这个三角形把一个凸多边形划分成两个凸多边形，其中一个凸多边形，是由P1，P2，……，Pk构成的凸k边形（顶点数即是边数），另一个凸多边形，是由Pk，Pk+1，……，Pn构成的凸n-k+1边形。

此时，我们若把Pk视为确定一点，那么根据乘法原理，f（n）的问题就等价于——凸k多边形的划分方案数乘以凸n-k+1多边形的划分方案数，即选择Pk这个顶点的f（n）=f（k）×f（n-k+1）。而k可以选2到n-1，所以再根据加法原理，将k取不同值的划分方案相加，得到的总方案数为：f（n）=f（2）f（n-2+1）+f（3）f（n-3+1）+……+f（n-1）f（2）。看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f（n）=h（n-2） （n=2，3，4，……）。

最后，令f（2）=1，f（3）=1。

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