经典回溯算法(八皇后问题)详解
来源:互联网 发布:2303am网络打印 编辑:程序博客网 时间:2024/06/06 23:50
八皇后问题,是一个古老而著名的问题,是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出:
在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后,使其不能互相攻击,即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上
(斜率为1),问有多少种摆法。高斯认为有76种方案。
1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解,后来有人用图论的方法解出92种结果。
计算机发明后,有多种方法可以解决此问题。
算法思路:
首先我们分析一下问题的解,我们每取出一个皇后,放入一行,共有八种不同的放法,
然后再放第二个皇后,同样如果不考虑规则,还是有八种放法。
于是我们可以用一个八叉树来描述这个过程。从根节点开始,树每增加一层,便是多放一个皇后,
直到第8层(根节点为0层),最后得到一个完全八叉树。
紧接着我们开始用深度优先遍历这个八叉树,在遍历的过程中,进行相应的条件的判断。以便去掉不合规则的子树。
那么具体用什么条件来进行子树的裁剪呢?
我们先对问题解的结构做一个约定。
用X[i]来表示,在第i行,皇后放在了X[i]这个位置。
于是我们考虑第一个条件,不能再同一行,同一列于是我们得到x[i]不能相同。
剩下一个条件是不能位于对角线上,这个条件不是很明显,我们经过分析得到,
设两个不同的皇后分别在j,k行上,x[j],x[k]分别表示在j,k行的那一列上。
那么不在同一对角线的条件可以写为abs((j-k))!=abs(x[j]-x[k]),其中abs为求绝对值的函数。
#include<iostream>using namespace std;int num;int *x;int sum;bool place(int k){ for(int j = 1;j<k;j++) if(abs(x[k] - x[j]) == abs(k-j)||x[j] == x[k]) return false; return true;}void backtrack(int t){ if(t>num) //num为皇后的数目 { sum++;//sum为所有的可行的解 for(int m = 1;m<=num;m++) { cout<<"<"<<m<<","<<x[m]<<">";//这一行用输出当递归到叶节点的时候,一个可行解 } cout<<endl; } else for(int i = 1;i<=num;i++) { x[t] = i; if(place(t)) backtrack(t+1);//此处的place函数用来进行我们上面所说的条件的判断,如果成立,进入下一级递归 }}void main(){ num = 8; sum = 0; x = new int[num+1]; for(int i= 0;i<=num;i++) x[i] = 0; backtrack(1); cout<<"方案共有"<<sum<<endl;delete []x; }
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