经典回溯算法（八皇后问题）详解

经典回溯算法（八皇后问题）详解

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：

在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上

（斜率为1），问有多少种摆法。高斯认为有76种方案。

1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。

计算机发明后，有多种方法可以解决此问题。

算法思路：

　 首先我们分析一下问题的解，我们每取出一个皇后，放入一行，共有八种不同的放法，

然后再放第二个皇后，同样如果不考虑规则，还是有八种放法。

于是我们可以用一个八叉树来描述这个过程。从根节点开始，树每增加一层，便是多放一个皇后，

直到第8层（根节点为0层），最后得到一个完全八叉树。　　

紧接着我们开始用深度优先遍历这个八叉树，在遍历的过程中，进行相应的条件的判断。以便去掉不合规则的子树。

　 那么具体用什么条件来进行子树的裁剪呢？

　 我们先对问题解的结构做一个约定。

　用X[i]来表示，在第i行，皇后放在了X[i]这个位置。

　于是我们考虑第一个条件，不能再同一行，同一列于是我们得到x[i]不能相同。

剩下一个条件是不能位于对角线上，这个条件不是很明显，我们经过分析得到，

设两个不同的皇后分别在j，k行上，x[j],x[k]分别表示在j,k行的那一列上。

那么不在同一对角线的条件可以写为abs((j-k))!=abs(x[j]-x[k])，其中abs为求绝对值的函数。

代码

public class NQueensII {    int[] x;//当前解    int N;//皇后个数    int sum = 0;//当前已找到的可行方案数    public int totalNQueens(int n) {        N = n;        x = new int[N+1];        backTrace(1);        return sum;    }    /**     * col行这个点，x[col]列这个点，与已经存在的几个皇后，是否符合要求     * @param col     * @return     */    private boolean place(int col){        for(int i = 1; i < col; i++){            if(Math.abs(col - i)==Math.abs(x[col]-x[i])||x[col]==x[i]){                return false;            }        }        return true;    }    private void backTrace(int t) {        if(t>N){            sum++;        }else {            //第t行，遍历所有的节点            for(int j = 1; j <= N; j++) {                x[t] = j ;//在第t行，皇后放在了X[t]这个位置。                //如果第j个节点可以放下皇后                if(place(t)){                    //接着放下一个                    backTrace(t+1);                }            }        }    }    public static void main(String[] args) {        NQueensII n = new NQueensII();        System.out.println(n.totalNQueens(8));    }}