不定积分的定义

如果函数f(x)  在区间 I 上有原函数， 那么 称 f(x) 在I 上的全体原函数组成的函数族为函数f(x)  在区间I 上的不定积分, 记为

               ∫f(x)dx,

其中记号∫称为积分号,f(x) 称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量.

由定义可知，如果F(x) 是f(x) 在区间 I 上的一个原函数， 那么

                    

                                                   ∫f(x)dx = F(x) +C,C为任意常数.

例如 ∫cosxdx = sinx  + C. 

 函数f(x) 的原函数的图形称为f(x) 的积分曲线

一个函数要具备什么条件，才能保证它的函数一定存在呢?

如果函数f(x) 在区间 I 上连续，那么 f(x) 在区间 I 上一定有原函数， 即一定存在区间 I 上的可导函数F(x) , 使得

                      F'(x)  = f(x) ,     x∈ I.

简单地说就是：  连续函数必有原函数。 

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由于 ∫f(x)dx 是f(x) 的原函数，所以

       或   d∫f(x)dx = f(x)dx

又由于 F(x) 是F'(x)的原函数，所以

     ∫F'(x)dx = F(x)  + C               或    ∫dF(x) = F(x) +C

微分运算d 和不定积分的运算∫是互逆的, 当记号∫和d连在一起时，或者抵消，或者抵消后相差一个常数.