[Unity基础]游戏中的数学

一、坐标系

1.世界坐标系：使用左手坐标系，即z轴方向跟人眼向前看的方向一致(右手坐标系z轴方向跟人眼向前看的方向相反)

2.本地坐标系

3.屏幕坐标系：左下为原点，右上为屏幕宽高

4.界面坐标系：左上为原点，右下为屏幕宽高(unity自带的gui使用的就是这个)

5.视口坐标系：Camera组件的Viewport Rect

6.齐次坐标系：用(x,y,z,w)来区分点和向量。例如(1,2,3,0),w为0时表示向量，为1时表示点

二、向量

1.点乘：主要用于计算两向量间的夹角，或者判断角度范围。向量a(a1,a2,a3)点乘向量b(b1,b2,b3)等于|a|*|b|*cos<a,b>，或等于a1xb1+a2xb2+a3xb3

Mathf.Asin/Mathf.Acos/Mathf.Atan：返回一个以弧度为计算单位的值

Mathf.Rad2Deg：弧度转度，相当于360/(PI * 2)

可以通过Mathf.Acos(点乘结果)*Mathf.Rad2Deg得出两向量的夹角，不过更方便的方法是：Vector3.Angle

2.叉乘：得到一个垂直于两个向量的向量。|向量a叉乘向量b|等于|a|*|b|*sin<a,b>

三、矩阵

主要用于shader中的顶点片段着色器。游戏中的移动、旋转和缩放实际上是向量与矩阵运算的结果。

定义：矩阵主要用来描述两个坐标系统间的关系，通过定义一种运算而将一个坐标系中的向量转换到另一个坐标系中。

维度：指包含了多少行和多少列。一个r x c矩阵有r行、c列。

方阵：行数和列数相同的矩阵称为方阵。方阵的对角线元素就是方阵中行号和列号相同的元素，其余为非对角线元素。如果所有非对角线元素都为0，则称这种矩阵为对角矩阵。例如：

单位矩阵：是一种特殊的对角矩阵，n维单位矩阵记作I n，是n x n矩阵，对角线元素是1，其他元素是0。例如，3 x 3单位矩阵：

向量作为矩阵使用：一个n维向量能被当作1 x n矩阵或n x 1矩阵，1 x n矩阵称作行向量，n x 1矩阵称作列向量。行向量平着写，列向量竖着写，例如：

转置：考虑一个r x c矩阵M，M的转置记作M T，是一个c x r矩阵，例如：

标量和矩阵的乘法：

矩阵和矩阵的乘法：一个r x n的矩阵A乘以一个n x c的矩阵B，结果是一个r x c矩阵，记作C。对于C中的任意元素，取A的第i行和B的第j列，将行和列中的对应元素相乘，然后将结果相加(等于A的第i行和B的第j列的点积)：

向量与矩阵的乘法：因为向量能被当作一行或一列的矩阵，因此同上。向量乘以一个矩阵，相当于执行了一次坐标转换：

上面表示将向量(x, y, z)转换到以p、q、r为坐标轴的坐标系中。

四、四元数

与旋转相关的数。一般情况下可以由欧拉角代替，但欧拉角会产生万向锁问题，所以旋转最好使用四元数。