卡特兰数

题目1：

矩阵的乘法添加括号我们知道，A*B可以，但是并不表示B*A也可以。假设有N+1个矩阵相乘，不能交换次序。只能用添加括号的方法来修改乘积的次序。那么有多少种添加括号的方法。

H(n)种。

 

题目2：

出栈次序问题，一个栈，其进栈的序列是从1~n，那么有多少种不同的出栈序列。

解：n 个元素进栈和出栈，总共要经历 n 次进栈和 n 次出栈。这就相当于对这 2n 步操作进行排列。

那么模型如下：对角线将以n*n正方形网格分成两部分，只留下包含对角线在内的下半部分。由于只能向右走和向下走，可以把向右走认为是在出栈，那么从左上角走到右下角，只需要H(n)步。因为只需要选择，在哪些地方向走右罢了。而总共肯定是需要向右走n步的。

 

题目3：

2n个人入场，n个人身上有10块，n个人身上有5块。票价是5块。那么如果要保证一直可以找零，那么入场的次序有多少种?

当有10块的人入场的时候，可以把他们看成是出栈，而5块的人入场当成入栈。则问题变得与出栈次序一样了。

 

题目4：

把1和0组合成一个序列，1的数目与0的数目都是一样的，为n个。有多少种排序使得从左向右扫描的时候，1的数目一直对0保持优势？

H(n)

 

题目5：

对于多边形三角形切分的时候，有多少种切分方法。

再如在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <cmath>using namespace std;int a[105][105];    //大数卡特兰数int b[105];         //卡特兰数的长度void catalan()  //求卡特兰数{    int i, j, len, carry, temp;    a[1][0] = b[1] = 1;    len = 1;    for(i = 2; i <= 100; i++)    {        for(j = 0; j < len; j++)    //乘法            a[i][j] = a[i-1][j]*(4*(i-1)+2);        carry = 0;        for(j = 0; j < len; j++)    //处理相乘结果        {            temp = a[i][j] + carry;            a[i][j] = temp % 10;            carry = temp / 10;        }        while(carry)    //进位处理        {            a[i][len++] = carry % 10;            carry /= 10;        }        carry = 0;        for(j = len-1; j >= 0; j--) //除法        {            temp = carry*10 + a[i][j];            a[i][j] = temp/(i+1);            carry = temp%(i+1);        }        while(!a[i][len-1])     //高位零处理            len --;        b[i] = len;    }}int main(){    int i, n;    catalan();    while(scanf("%d", &n) != EOF)    {        for(i = b[n]-1; i>=0; i--)        {            printf("%d", a[n][i]);        }        printf("\n");    }    return 0;}