两个连续独立随机变量的商的概率密度函数

来源：互联网发布：smartgit linux 破解编辑：程序博客网时间：2024/05/10 02:20

转帖原理

Quotient of two random variables

Let X and Y be independent random variables having hte respective pdf’s fX(x) and fY(y). Then the cdf FZ(z) of the quotient:

Z = Y X

can be computed as follows.

F Z (z) = P (Y X \leq z) = P (Y \geq z X, X < 0) + P (Y \leq z X, X > 0)

= \int 0 - \infty (\int + \infty z x f Y (y) d y) f X (x) d x + \int \infty 0 (\int z x - \infty f Y (y) d y) f X (x) d x

By differentiating, we can obtain

f Z (z) = d F Z ( z ) d z = \int 0 - \infty (- x f Y (x z)) f X (x) d x + \int + \infty 0 (x f Y (x z)) f X (x) d x

= \int + \infty - \infty | x | f Y (x z) f X (x) d x

如果X和Y是相互独立的标准正态分布的随机变量,求:

T = A + X B + Y, (A, B 是 常 数)

的分布密度函数。
解:

标准正态分布密度函数为:

f 0 (x) = e - x 2 2 2 π - - \sqrt

设 U=A+X,V=B+X，则T=U/V, 两个变量的分布密度函数分布是：

f U (u) = e - 1 2 ( u - A ) 2 2 π - - \sqrt, f V (v) = e - 1 2 ( v - B ) 2 2 π - - \sqrt

直接对 U,V 及其分布密度函数使用前面的结果得到 T 的

f T (t) = \int + \infty - \infty | v | f U (v t) f V (v) d v

求这个积分就可以了。这个不用软件很难弄, 用了软件也很烦

f T (t) = π \sqrt ( t 2 + 1 ) e - ( A - B t ) 2 2 ( t 2 + 1 ) - e 1 2 ( - A 2 - B 2 ) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ π \sqrt e ( A t + B ) 2 2 ( t 2 + 1 ) ( A t + B ) \int 0 A t + B 2 \sqrt t 2 + 1 \sqrt e - u 2 d u + 2 \sqrt t 2 + 1 - - - - - \sqrt ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ 2 \sqrt π ( t 2 + 1 ) 3 / 2

= e - ( A - B t ) 2 2 ( t 2 + 1 ) 2 π - - \sqrt t 2 + 1 - - - - - \sqrt - e - A 2 2 - B 2 2 π t 2 + π - e - ( A - B t ) 2 2 ( t 2 + 1 ) ( A t + B ) \int A t + B 2 \sqrt t 2 + 1 \sqrt 0 e - u 2 d u 2 π - - \sqrt ( t 2 + 1 ) 3 / 2

我直接算,不用前面的公式,得到更简单的结果,只有第一项（这个是错的）:

f T (t) = e - ( A - B t ) 2 2 ( t 2 + 1 ) 2 π - - \sqrt t 2 + 1 - - - - - \sqrt

我规规矩矩地用这里的方法,求边际分布的方式,得到密度函数是一个分段函数,这一次应该是正确的了:

⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ f T (t) = e 1 2 ( - A 2 - ( A - B t ) 2 t 2 + 1 - B 2 ) ⎛ ⎝ 2 \sqrt t 2 + 1 - - - - - \sqrt e ( A - B t ) 2 2 ( t 2 + 1 ) - π \sqrt e 1 2 ( A 2 + B 2 ) ( A t + B ) erfc ( A t + B 2 \sqrt t 2 + 1 \sqrt ) ⎞ ⎠ 2 2 \sqrt π ( t 2 + 1 ) 3 / 2 f T (t) = e 1 2 ( - A 2 - B 2 ) ⎛ ⎝ π \sqrt e ( A t + B ) 2 2 ( t 2 + 1 ) ( A t + B ) erf ( A t + B 2 \sqrt t 2 + 1 \sqrt ) + π \sqrt B e ( A t + B ) 2 2 ( t 2 + 1 ) + π \sqrt A t e ( A t + B ) 2 2 ( t 2 + 1 ) + 2 \sqrt t 2 + 1 - - - - - \sqrt ⎞ ⎠ 2 2 \sqrt π ( t 2 + 1 ) 3 / 2 t < - B t > - B

综合上述，可以看出，这个问题看着简单，结果是繁琐的。

第一种解法，使用了商的pdf公式还是对计算有所简化的。而后面一种，直接用随机变量复合函数的pdf计算反而得到不容易化简的结果。努力化简，似乎应该能证明等价？

0 0