[BZOJ2818]Gcd

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题目大意：给定整数N，求x,y∈[1,N]且gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对(N≤107).

做法：用筛法Θ(n)求出素数表和欧拉函数表以后，一切都变得很简单了，所以主要讲一下筛法.

Θ(n)素数筛原理：对于一个合数n,总能唯一表示成n=p×m的形式，其中p是n的最小质因子.

Θ(n)筛法求欧拉函数的原理：对于一个合数n，ϕ(n)总能唯一表示成ϕ(p×m)的形式，其中p是n的最小质因子.

然后根据欧拉函数性质：

ϕ(n)={ϕ(np)×p         (npmod p=0)ϕ(np)×(p−1) (npmod p≠0)

为什么？你想一下通式…

然后就可以同时求质数表和欧拉函数了，具体见下面代码.

AC code:

#include <cstdio>typedef long long ll;const int N=10000010;int  n,tot;int  prime[N],phi[N];bool flag[N];ll   ans;ll   S[N];int main(){    scanf("%d",&n);    phi[1]=S[1]=1;    for(int i=2;i<=n;i++){        if(!flag[i]){            prime[++tot]=i;            phi[i]=i-1;        }        for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;j++){            flag[i*prime[j]]=1;            if(i%prime[j]) phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);            else{                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];                break;            }        }    }    for(int i=2;i<=n;i++) S[i]=S[i-1]+(phi[i]<<1);    for(int i=1;i<=tot;i++) ans+=S[n/prime[i]];    printf("%lld\n",ans);    return 0;}