POJ 1183 反正切函数的应用

Description

反正切函数可展开成无穷级数，有如下公式

(其中0 <= x <= 1) 公式(1)

使用反正切函数计算PI是一种常用的方法。例如，最简单的计算PI的方法：

PI=4arctan(1)=4(1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+…) 公式(2)

然而，这种方法的效率很低，但我们可以根据角度和的正切函数公式：

tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)*tan(b)] 公式(3)

通过简单的变换得到：

arctan(p)+arctan(q)=arctan[(p+q)/(1-pq)] 公式(4)

利用这个公式，令p=1/2,q=1/3，则(p+q)/(1-pq)=1，有

arctan(1/2)+arctan(1/3)=arctan[(1/2+1/3)/(1-1/2*1/3)]=arctan(1)

使用1/2和1/3的反正切来计算arctan(1)，速度就快多了。
我们将公式(4)写成如下形式

arctan(1/a)=arctan(1/b)+arctan(1/c)

其中a,b和c均为正整数。

我们的问题是：对于每一个给定的a（1 <= a <= 60000），求b＋c的值。我们保证对于任意的a都存在整数解。如果有多个解，要求你给出b+c最小的解。
Input

输入文件中只有一个正整数a，其中 1 <= a <= 60000。
Output

输出文件中只有一个整数，为 b+c 的值。
Sample Input

1
Sample Output

5

首先有一个非常基础的知识，一个整数可以表示为另外两个正数的和，比如x = 3 , y = 1 , z = 2,那么x = y+z.

由题意可知，1/a = (1/b+1/c)/(1-1/b*1/c). 进一步化简得 1/a = (b+c)/(b*c-1), 如果要暴力枚举的话就化简成a = (b*c-1)/(b+c)—式子1,这样枚举找最小b+c是n2的复杂度，上限稍微定大一点就会超时，所以此法不可取。
从题中也可以看出b,c都是大于a的，所以利用上面的知识将设b = a+m;c = a+n; 带入式子1中，化简出来有a2 = m*n-1, a2+1/m = n.然后只需要枚举m就可以找到m和n了。只需要从1开始枚举，当（a2+1）%m == 0就可以找到一组解了，找出最小的一组就行了。
但是进一步优化可以从a开始枚举，到最近的一组能（a2+1）%m == 0的就是最优解。因为b+c = 2*a+m+n; 由均值不等式得m+n>=2*sqrt(m*n); 当趋近于m==n的时候是最优解。本来觉得从a/2开始枚举更好，但由于1以及一些其他可能数据，所以还是从a开始枚举比较好

#include"stdio.h"#include"iostream"#include"algorithm"#include"string.h"#include"math.h"#include"stdlib.h"#include"queue"using namespace std;typedef long long LL;int main(void){    LL a;    while(scanf("%lld",&a) !=EOF)    {        int t;        for(int i = a;i >= 1;i--)        {            if((a*a+1)%i == 0)            {                printf("%lld\n",(a*a+1)/i+i+2*a);                break;            }        }    }    return 0;}