LintCode 不同的路径

不同的路径

有一个机器人的位于一个M×N个网格左上角（下图中标记为’Start’）。
机器人每一时刻只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（下图中标记为’Finish’）。
问有多少条不同的路径？

1, 1 1, 2 1, 3 1， 4 1, 5 1, 6 1, 7 2， 1 2， 2 2， 3 2， 4 2，5 2， 6 2， 7 3， 1 3， 2 3， 3 3， 4 3，5 3， 6 3， 7

以上3 x 7的网格中，有多少条不同的路径？
注意
n和m均不超过100

注意：在题目中并没有标出，Start和Finish的位置，但是可以很明显的知道Start位于最左上角的位置及（1，1）处，而Finish因为位于最右下角(3,7)的位置。

思路：
从题目中可以知道应该是使用动态规划来就这这问题。
动态规划的步骤为：
1， 刻画一个最优解的结构特征
2， 递归的定义最优解的值
3， 采用自底向上的方法求解最优解的值。

基于这三个步骤来求解这问题：
1，构造一个最优解的结构特征：
在求解path[m,n]的时候我们必然要知道path[m-1][n] 和 path[m][n-1]的值。因此，在求解path[i][j]是我们需要先求解其子问题path[i-1][j] 和path[i][j-1]
2, 递归的定义最优解的值：
由于到达path[i][j]有两条路径path[i-1][j]和path[i][j-1],因此我们有
path[i][j] += path[i-1][j] + path[i][j-1]如果路径存在的话
3，实现最优解
注意：如果该路径不存在时我们应该置该路径为0

code :

class Solution {public:    /**     * @param n, m: positive integer (1 <= n ,m <= 100)     * @return an integer     */    int uniquePaths(int m, int n) {        // wirte your code here        // 定义一个(m+1)x(n+1)的二维数组,并且初始化为0        //用来存储子问题的解        vector<vector<int>> path(m+1, vector<int>(n+1, 0));        path[1][1] = 1;        for (int i = 1; i <= m; ++i) {            for (int j = 1; j <= n; ++j) {                if (path[i-1][j]) //如果该路径存在                    path[i][j] += path[i-1][j];                if (path[i][j-1])                    path[i][j] += path[i][j-1];            }        }        return path[m][n];    }};