算法学习——树状数组

给定一个数列：a1 , a2 , a3 , ····，an。树状数组可以快速的完成下述操作：

1. 给定i，计算a1+a2+ ···· + ai的和，即计算数列前i项的和，同样的这也可以转变为求任意给定的区间的和，如求[s,t]内的数列和，getSum(t) - getSum(s)。
2. 给定i和x，执行ai += x，也就是update(i)，注意由于树状数组是区间性的，所以i之后的元素也会更新。

树状数组的百科介绍

令这棵树的结点编号为C1，C2…Cn。令每个结点的值为这棵树的值的总和，那么容易发现：
C1 = A1
C2 = A1 + A2
C3 = A3
C4 = A1 + A2 + A3 + A4
C5 = A5
C6 = A5 + A6
C7 = A7
C8 = A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + A7 + A8
就是说，对输入的数据（存储在数组A中）进行了数据处理，将其存到了数组C中，而在二进制下就会发现数组C的下标对应的元素与A有关系。
设节点编号为x，那么这个节点在数组C中管辖的区间为2^k（其中k为x二进制末尾0的个数）个元素。因为这个区间最后一个元素必然为Ax，
所以很明显：Cn = A(n – 2^k + 1) + … + An
也就是说求Ci，就是不断的把数组A在i位置的元素加到结果中，并从i中减去i的二进制最低非0位对应的幂，直到i变成0为止。i的二进制的最后一个1可以通过i&-i得到，也就是i -= i & -i 。

import java.util.Arrays;import java.util.Scanner;public class Main {    public static int n;    public static int[] nums = null;    /*使第i项的值增加v需要从i开始，不断的把当前位置i的值增加v，并把i的二进制最低非0位对应的幂加到i上。*/    public static void update(int i,int v){        while(i<=n){            nums[i] += v;            i += i & -i;        }    }    public static int getSum(int i){        int sum = 0;        while(i>0){            sum += nums[i];            i -= i & -i;        }        return sum;    }    public static void main(String[] args) {        // TODO Auto-generated method stub        Scanner in = new Scanner(System.in);        while(in.hasNext()){            n = in.nextInt();            nums = new int[n+10];            //由于累加，初始化为0            Arrays.fill(nums, 0);            int t = 0;            //数组元素从1开始输入。            for(int i=1;i<=n;i++){                t = in.nextInt();                update(i, t);            }            for(int i=1;i<=n;i++) System.out.println(i+","+getSum(i));        }    }}

树状数组通过 lowbit(k) = k & -k 找到相应的位，然后根据是update还是getSum执行加或减。

应用，树状数组求逆序数：

import java.util.Arrays;import java.util.Scanner;public class Main {    public static int n;    public static int[] nums = null;    public static void update(int i,int v){        while(i<=n){            nums[i] += v;            i += i & -i;        }    }    public static int getSum(int i){        int sum = 0;        while(i>0){            sum += nums[i];            i -= i & -i;        }        return sum;    }    public static void main(String[] args) {        // TODO Auto-generated method stub        Scanner in = new Scanner(System.in);        while(in.hasNext()){            n = in.nextInt();            nums = new int[n+10];            Arrays.fill(nums, 0);            int t = 0;            long ans = 0L;            for(int i=0;i<n;i++){                t = in.nextInt();                ans += i - getSum(t);                update(t, 1);            }            //for(int i=1;i<=n;i++) System.out.println(i+","+getSum(i));            System.out.println(ans);        }    }}