Unity Shader切空间旋转矩阵的笔记

在学习 Unity的Shader时，发现 unity Shader内置了一个宏定义

// Declares 3x3 matrix 'rotation', filled with tangent space basis#define TANGENT_SPACE_ROTATION \float3 binormal = cross( v.normal, v.tangent.xyz ) * v.tangent.w; \float3x3 rotation = float3x3( v.tangent.xyz, binormal, v.normal )

这个矩阵的作用是从模型空间转换到切空间。突如其来的定义让我有点没反应过来，仔细理了一下。理解这个需要先复习坐标系的定义：

假设线性子空间的基B={v1,v2,...,vk}, 向量 a = v1c1+v2c2+...+vkck，那么(c1,c2,...,ck)即为a基于B的坐标。换句话说，坐标是向量在某组基下的表示。此时，我们称B定义了一个坐标系。假设向量a在基{v1,v2,vk}下的坐标已知为b，矩阵C={v1,v2...vk}，那么有 a  = Cb，C就是这个坐标变换的变换矩阵。

现在我们来看切空间的三个轴，它其实就是一组正交的基 {v1,v2,v3} ， 任何一个切空间的坐标b (xb,yb,zb)与之相乘，都可以转化为模型空间的坐标a (xa,ya,za),即a = Cb。

展开写就是

                  

|xa|     |v.tangent.x,  binormal.x,  v.normal.x|       |xb|   
|ya| =  |v.tangent.y,  binormal.y,  v.normal.y|  *   |yb|
|za|     |v.tangent.z,  binormal.z,  v.normal.z|       |zb|

因此，上面的变换矩阵就是一个从切空间到模型空间的变换矩阵，那么从模型空间到切空间的变换矩阵就是上面矩阵的逆矩阵。又因为这个矩阵是一个正交矩阵，因此它的逆矩阵可以写成它的转置矩阵。

一旦转置，就出现了最开始的那段代码。

float3x3( v.tangent.xyz,                binormal,                v.normal )

它表示从切空间到模型空间的一个变换