利用伸展树提高区间操作的性能

一、首先，什么是区间操作？以及各种数据结构性能对比

区间操作就是对一个序列的某个区间的所有元素进行的操作。比如，对区间所有元素增加一个值，翻转区间元素等。
对区间操作，最普通的方法就是数组。比如：对一个长为N 的序列的 [L,R]区间执行每个元素加上k 的操作，可以使用数组来保存序列，然后使用循环对[L,R]区间每个元素加k 。
代码是这样的：

 //int A[],L,R,k; for i = L to R    A[i] += k;   

这样做的效率是 O(N)，对于一个排序来说这是很好的性能，但对于一个操作来说，这并不是理想，很多二叉树的操作都能达到O( log N) 级别。
对于最典型的查找操作，普通二叉树的操作能达到O( log N) ，但是树在最坏情况下性能会退化到O(N)（比如順边的情况下） 。
平衡树能对树高度进行控制，最坏性能控制在O(log N)，但是，平衡树只是控制了树的高度，而不能保证访问频率高的节点离跟越近，因此，平衡树的访问效率与节点的分布有关，如果访问频率高的节点离根很远，那么平衡树的性能就会有所降低。
因此，便有了伸展树。伸展树的特点就是：每次查找或插入节点，都会把该节点旋转到树根位置，随着操作次数增加，高频节点就会聚集在根周围，从而达到较好的性能。

二、伸展树介绍

伸展树的特点就是：每次查找或插入节点，都会把该节点旋转到树根位置，随着操作次数增加，高频节点就会聚集在根周围，从而达到较好的性能。

伸展树首先是一棵树，可以定义如下：

typedef struct Node{    int key;        struct Node *lch,*rch,*parent;}* Node ,* Tree;

伸展树的高层操作有：

高层操作 实现 insert( t , x ) 将x插入t中。找到x在t中的位置，插入x，然后再将x旋转到树根 delete( t ,x ) 删除x。找到x,将x调到根部，将x的左子树和右子树删除后合并。 spilt( t , x) 以x为界分离t。找到x,将x旋转到树根，然后将x的左子树和剩余部分分离 find( t , x ) 找到x。找到x，然后将x旋转到树根。 join( t1 , t2 ) 合并子树 t1和t2，要求t1所有元素小于t2的任一元素。找到t1的最大元素，并调整到根部，将t2作为根的右子树插入

可见，树的高层操作都依赖与旋转等基本操作：

基本操作 实现 splay( t ,x ) 将x调至根部。循环调用zig_zag_manager( t , x) 方法，直到x == t zig_zag_manager( t , x) 旋转管理者。 找到x，分析x与父亲节点，父亲节点与祖父节点的关系，选择恰当的旋转方式。 下面几个函数中，设x 的父节点为 p, p的父节点为g 。 zig( t , x ) 右旋。当p是根节点，x是p的左孩子，将x右旋 zag( t , x ) 左旋。当p是根节点，x是p的右孩子，将x左旋 zig_zig( t , x ) 右双旋。x是p的左节点，当p是g的左节点，先将p右旋，再将x右旋 zag_zag( t , x ) 左双旋。x是p的右节点，当p是g的右节点，先将p左旋，再将x左旋 zig_zag( t , x ) 右旋再左旋。x是p的左节点，当p是g的右节点，先将x右旋，再将x左旋 zag_zig( t , x ) 左旋再右旋。x是p的右节点，当p是g的左节点，先将x左旋，再将x右旋

其实上述左旋和右旋很有规律，当一个节点是左节点时，应当右旋，当一个节点是右节点时，应当左旋。

伸展树的区间操作

伸展树操作区间的思路是：

第一步，分离区间。分离长度为N的序列里的区间 [L ,R ]，首先找到第L大的元素，然后以其为界进行分离操作，得到t1 = [0,L-1] 和 temp = [L ,N]。
然后，再找到 temp 中第 R-L+1 大元素，并以该元素为界进行分离操作， 得到 t2 = [L ,R] 和 t3 = [R+1, N]。这样，就成功分离出了目标区间t2 。

第二步，对目标区间进行操作。

第三步，合并区间。合并t1,t2,t3。