方差与转动惯量

这个文档的目的是加深对概率密度的理解和换个角度理解数学期望和方差。

其实方差的定义和物理上的转动惯量是一致的。我们可以看一个简单的例子：

书上P111页在求平均分布的方差的结果是 (b-a)^2/12 。而一长度为L均匀细棒以其中心为转轴的转动惯量是L^2/12。这两个数据极其相似。

现在下面我们就看一看方差与转动惯量的联系（以一维度为例）。

谈到方差肯定是离不开数学期望的。回顾一下数学期望的定义：

                          

我们不妨变一下形：

 

是不是很熟悉？对，这个等式和物理上质心的定义很像。

在进一步讲下去之前我们来再理解概率密度：我们可以想象有一个特殊物体（概率）的质量就是单位1，这物体分布在坐标系（可以是一维，二维和更高维）。所以不同的分布情况对应着不同的密度函数（概率密度）。质量不可能为负，这性质对应着概率是非负的。由于质量守恒，所以这坐标系里任意的区域内的质量不可能超过1（概率小于等于1）。有了这些，我们可以做一些小小的类比：

物理中 dm = ρ(x)dx 其中dm意思质量的微分、 ρ(x)意思着线密度、 dx意思着长度的一个微分。

那么我们可以类比 dp = f(x)dx 其中dp意思着概率的微分、 f(x)意思着概率密度、 dx就是随机变量的微分。

 

好了我相信这上面的并不难理解，下面我们继续。

我们再回顾一下方差的定义： 

           D(X) = E{[(X - E(X))]^2}

书上也给了我们方差的常用的计算公式：

        E{[(X - E(X))]^2} = E(X^2) - [E(X)]^2

我知道，我的概率老师只解释了上式得左边的一些意思。但是没有解释右边是什么意思。我下面做的就是解释等式的右边的物理意义！

我又要回顾上学期大物地一个公式了（别方）：

大物一P98 例3.1.3  转动惯量的平行轴定理：

             I= Ic + ml^2

试中  Ic   是转轴过质心得转动惯量， l 是与过质心转轴相距为l 且与之平行的另一转轴。简单起见，下面从一维证明一下上式：

 

我们简单对平行轴定理移项处理的：

   Ic   =   I    -  ml^2

而方差公式:    D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

现在是不是初见端倪了？ 我们再将 E(X^2)做如下变化

     E(X^2) = E[(X -  0)^2]  这是不是就是求概率关于x=0的波动？ 现在我们已经将 Ic 和 D(X) 做了对应、I 和 E(X^2)也做了对应。  那么ml^2 和 [E(X)]^2 怎么对应呢？

还记得我一开始讲的概率密度的东西呢吧？质量 m 是不是对应着 ∫f(x)dx = 1? 最后 E(X) 是一个常数，这正对应着平行轴定理中的两个坐标轴的相距。更具体的说：

在平行轴定理中： I是物体关于转轴x = l 的转动惯量， Ic是物体关于转轴x = 0 的转动惯量 （注意这里是把坐标轴放在质心处）

在方差公式中： D(X)表示概率关于x = E(X)的波动， E(X^2)表示概率关于x = 0的波动。

完

 

 

                                                 2015年11月14日