记忆化搜索求解区间型dp

区间动态规划问题一般都是考虑，对于每段区间，他们的最优值都是由几段更小区间的最优值得到，是分治思想的一种应用，将一个区间问题不断划分为更小的区间直至一个元素组成的区间，枚举他们的组合 ，求合并后的最优值。
区间dp是一种有效的解题模型，下面结合几道经典题解释区间型dp

1，合并沙子 tyvj题库

和以前做过的合并果子类似，但不同的地方是此次只能合并相邻的两个。很显然贪心无法胜任这个题。我们考虑用记忆化搜索来做。
对于一段沙子ai..aj，合并他必定先合并ai..ak,ak+1..aj(i<=k

    int dfs(int i, int j) {        if (i == j) return 0;        if (f[i][j] != -1) return f[i][j];        f[i][j] = 20000000;        //先给一个极大值        for (int k=i; k<j; k++)            f[i][j] = min(f[i][j], dfs(i,k)+dfs(k+1, j)+sum(i,j));        //sum(i,j)可以维护前缀和得到        return f[i][j];    }

2，乘法游戏 还是tyvj

和上一题及其类似，不过这次稍有不同。枚举k并递归的求解ai..ak,ak..aj的乘法最大值，即先将ai..ak,ak..aj中所有元素取完，再取k(ai*ak*aj)。核心代码如下：

    int dfs (int i, int j) {        if (f[i][j] != -1) return f[i][j];        if (j-i == 1) return 0;        //已经取完        f[i][j] = 100000000;        for (int k=i+1; k<j; k++)            f[i][j] = min(f[i][j], dfs(i,k)+dfs(k,j)+a[i]*a[k]*a[j]);        //先取两边再取中间        return f[i][j];    }

3，treat tyvj…

所谓i*a_j，实际上可以看成就是第一个取加一次，第二次取加两次，第三次……每次只能从左或从右取。以下是某大牛的解释：

/*区间dp其实还可以有另一种写法。。。。。令f[i][j]表示取完第i到第j个数的最大值,sum[i][j]表示第i到第j个数的和有方程f[i][j] = max(f[i+1][j] , f[i][j-1]) + sum[i][j]因为每多取一个数，原来的数所乘系数均+1，而新取的数所乘的系数也恰好为1，故只要再加上这些数的和即可*/

转移方程容易得出：

    dp[i][j] = max (dp[i+1][j], dfs[i][j-1]) + sigma(i,j);

为了避免麻烦，我们仍然用记忆化搜索

    int dfs(int i, int j) {        if (dp[i][j] != -1) return dp[i][j];        if (j == i) return dp[i][j] = sigma(i,j);        //只有一个        dp[i][j] = max (dfs(i+1, j), dfs(i, j-1)) + sigma(i,j);        //从两边取        return dp[i][j];    }

4，括号序列 tyvj

要求最少添加，只需要求出最大匹配，再用总长度减去最大匹配即可
最大匹配计算方法是： 对于序列ai..aj,若ai,aj匹配，则为dfs(ai+1..aj-1)+2。否则枚举k递归计算ai..al和ak+1..aj的最大匹配之和并不断更新。tyvj中某大神的题解如下：

令f[i][j]表示取完第i到第j个数的最大值,sum[i][j]表示第i到第j个数的和
有方程f[i][j] = max(f[i+1][j] , f[i][j-1]) + sum[i][j]
因为每多取一个数，原来的数所乘系数均+1，而新取的数所乘的系数也恰好为1，故只要再加上这些数的和即可

最大匹配代码：

    char str[1005];    int dp[1005][1005];    int n;    int dfs(int i, int j) {        if (j <= i) return 0;        if (dp[i][j] != -1) return dp[i][j];        if ((str[i] == '(' && str[j] == ')') || (str[i] == '[' && str[j] == ']'))            dp[i][j] = dfs(i+1, j-1)+2;        /*恰好匹配*/        for (int k=i; k<j; k++)            dp[i][j] = max(dp[i][j], dfs(i,k) + dfs(k+1,j));        /*求分成任意两段的最大匹配和*/        return dp[i][j];    }

总结

区间型dp的主要特点是一个大的区间i..j可以分成两个小的区间i..k,k+1..j(分治特征)，而且彼此决策间互不影响(dp特征)。对于这类问题，通常从决策入手推出dp方程，再用记忆化搜索完成即可。例如沙子合并一题，合并一个区间可以转化成先合并两个小区间再将这两个区间合并，由此很容易写出代码。用记忆化搜索求解区间dp问题编程复杂度低且不易出错，是解决区间dp的首选(NOIp应该不会卡常数)。

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Ps 区间dp是第一个(唯一一个)看懂的dp类型。感觉大神们的一句话是真理：多见方程多做题。所以，区间dp专练来啦(亲自做过，保证质(shui)量(ti))：

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