week3——归并排序

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本文是博主在Coursera学习时所写的学习笔记，如有错误疏漏还望各位指正。

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归并排序

基本思想

• 将列表分为两部分
• 通过递归将每部分排序
• 合并两部分
  

举个例子

输入一个数组 G,E,E,M,R,C,E,A,R,T
将其分为两部分，并对每个部分排序，如下图

合并两部分

新建一个aux[]的拷贝a[]
设两部分最小元素的下标为i，j，每次比较i，j所对应的元素大小，将较小的元素放入a[],让后将i或j加1，直至将两部分合并完成。

算法分析

• 时间复杂度
  比较次数：O(NlogN)
  数组访问次数：O(6NlogN)
• 空间复杂度
  需要额外的O(N)，这是归并排序最明显的缺点

代码实现

    public class MergeSort {    //合并    private static void merge(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int mid, int hi) {        for (int k = lo; k <= hi; k++)            aux[k] = a[k];        int i = lo, j = mid + 1;        for (int k = lo; k <= hi; k++) {            if (i > mid)                a[k] = aux[j++];            else if (j > hi)                a[k] = aux[i++];            else if (less(aux[j], aux[i]))                a[k] = aux[j++];            else                a[k] = aux[i++];        }    }    private static boolean less(Comparable a, Comparable b) {        return a.compareTo(b) < 0;    }    private static void sort(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int hi) {        if (hi <= lo)            return;        int mid = lo + (hi - lo) / 2;        sort(a, aux, lo, mid);        sort(a, aux, mid + 1, hi);        merge(a, aux, lo, mid, hi);    }    public static void sort(Comparable[] a) {        Comparable[] aux = new Comparable[a.length];        sort(a, aux, 0, a.length - 1);    }}

改进

对划分后较小的数组使用插入排序

因为递归的原因，归并排序对较小的数组有很大开销，因此对较小的数组我们改用插入排序
将上述的sort(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int hi)改为如下：

private static void sort(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int hi){    //当数组长度小于CUTOFF时使用插入排序，CUTOFF应设置为常数。    if (hi <= lo + CUTOFF - 1)    {        Insertion.sort(a, lo, hi);        return;    }    int mid = lo + (hi - lo) / 2;    sort (a, aux, lo, mid);    sort (a, aux, mid+1, hi);    merge(a, aux, lo, mid, hi);}

如果归并前排序已经完成则停止

对划分后的两部分分别排序后，如果左边最大的元素小于右边最大的元素，则不要进行归并
将sort(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int hi)改为如下：

private static void sort(Comparable[] a, Comparable[] aux, int lo, int hi){    if (hi <= lo) return;    int mid = lo + (hi - lo) / 2;    sort (a, aux, lo, mid);    sort (a, aux, mid+1, hi);    //新添加的代码    if (!less(a[mid+1], a[mid])) return;    merge(a, aux, lo, mid, hi);}

自下而上归并排序

基本思想

将数组划分为长度为1的若干数组，合并成为长度为2的若干数组。
将长度为2的书组合并成长度为4的若干数组。以此类推，直至排序完成。

举个例子

示例图

代码实现

将sort(Comparable[] a)改为如下：

public static void sort(Comparable[] a){    int N = a.length;    Comparable[] aux = new Comparable[N];    for (int sz = 1; sz < N; sz = sz+sz)//每次归并的数组长度，1，2，4，8....        for (int lo = 0; lo < N-sz; lo += sz+sz)//每次归并的子数组a[lo]~a[N-sz]            merge(a, aux, lo, lo+sz-1, Math.min(lo+sz+sz-1, N-1));}

说明

这种自下而上的归并排序是一种简单的无递归归并排序，但是要大约比应用递归的自顶而下的归并排序慢10%