2820: YY的GCD 莫比乌斯反演

这道题与Problem b是非常相似的，只不过不是求一个固定的数，是求素数。
那么我们可以得到：Ans=∑k∑⌊nk⌋d=1μ(d)⌊nk×d⌋⌊mk×d⌋，其中k为≤n的素数，如果枚举素数然后再分块，复杂度为O(T∑knk−−√)显然会TLE。
为表述方便，不妨令T=k×d,可以发现在求解的过程中，每次枚举到T的质因子，就要计算⌊nT⌋⌊mT⌋，那么我们可以把这一项提到前面，于是对上式变形得：
Ans=∑nT=1⌊nT⌋⌊mT⌋∑k∣Tμ(Tk)，令f(T)=∑k∣Tμ(Tk),那么Ans=∑nT=1⌊nT⌋⌊mT⌋f(T),可以发现如果能求出f(T),我们就可以分块辣！
那么现在就考虑怎样预处理f(T)。
设T=px11×px22×...×pxnn，设S=px1−11×px22×...×pxnn，那么计算f(T)分两种情况：
①若x1=1即S mod p1≠0时，f(S)=∑ki=2μ(Spi),f(T)=∑ki=1μ(Tpi)=μ(Tp1)+∑ki=2μ(Tpi)=μ(S)+∑ki=2μ(Spi×p1)=μ(S)+∑ki=2μ(Spi)μ(p1)=μ(S)−f(S)。
②若x1>1，即S mod p1=0,μ(px11)=0,f(T)=∑ki=1μ(Tpi)=μ(Tp1)+∑ki=2μ(Tpi)=μ(S)+∑ki=2μ(Tpi×px11×px11)=μ(S)+∑ki=2μ(Tpi×px11)×μ(px11)=μ(S)
然后我们就可以愉快的进行线性筛+分块辣。

#include<iostream>#include<cstdio>#define MAXN 10000005#define ll long longusing namespace std;int prime[MAXN],mobius[MAXN],f[MAXN],sum[MAXN];bool flag[MAXN];inline int read(){    int a=0,f=1; char c=getchar();    while (c<'0'||c>'9') {if (c=='-') f=-1; c=getchar();}    while (c>='0'&&c<='9') {a=a*10+c-'0'; c=getchar();}    return a*f;}inline void prepare(){    mobius[1]=1;     for (int i=2;i<MAXN;i++)    {        if (!flag[i]) prime[++prime[0]]=i,mobius[i]=-1,f[i]=1;        for (int j=1;j<=prime[0]&&i*prime[j]<MAXN;j++)        {            flag[i*prime[j]]=1;            if (i%prime[j]==0)            {                mobius[i*prime[j]]=0;                f[i*prime[j]]=mobius[i];                break;            }            else mobius[i*prime[j]]=-mobius[i],f[i*prime[j]]=mobius[i]-f[i];        }    }    for (int i=1;i<MAXN;i++)        sum[i]=sum[i-1]+f[i];}           int main(){    prepare();    int testcase=read();    while (testcase--)    {        ll n=read(),m=read();        if (n>m) swap(n,m);        ll ans=0; int pos=0;        for (int i=1;i<=n;i=pos+1)        {            pos=min(n/(n/i),m/(m/i));            ans+=(sum[pos]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);        }        printf("%lld\n",ans);    }    return 0;}