蓝桥杯 算法提高 01背包

 算法提高 01背包  

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问题描述

　　给定N个物品,每个物品有一个重量W和一个价值V.你有一个能装M重量的背包.问怎么装使得所装价值最大.每个物品只有一个.

输入格式

　　输入的第一行包含两个整数n, m，分别表示物品的个数和背包能装重量。
　　以后N行每行两个数Wi和Vi,表示物品的重量和价值

输出格式

　　输出1行，包含一个整数，表示最大价值。

样例输入

3 5
2 3
3 5
4 7

样例输出

8

数据规模和约定

　　1<=N<=200,M<=5000.

思路分析：
每件物品仅有一件，可选择放或不放
可用dp[i][j]表示前 i 件物品恰放入容量为 j 的背包可获得的最大价值，则有以下的动态规划函数：
(1)   dp[i][0] = dp[0][j] = 0 
(2)   dp[i][j] = dp[i-1][j] j<wi  
 dp[i][j] = max{dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i]}j>wi
在此说明 (2) 的两种情况： 
情况一: 第i个物品的重量大于背包的容量，则装人前i个物品得到的最大价值和装入前i-1个物品得到的最大价是相同的，即物品i不能装入背包
情况二: 如果第i个物品的重量小于背包的容量，则会有一下两种情况：
(a)如果第 i 件放进去，则应先求得在容量为 j-w[i] 的背包中放入前 i-1 件物品的最大价值，再加上第 i 件物品的价值，就可得到总价值
(b)如果第i个物品没有装入背包，则背包中物品价值就等于把前i-1个物品装入容量为j的背包中所取得的价值。
显然，取二者中价值最大的作为把前 i 个物品装入容量为 j 的背包中的最优解。

假设现有容量10kg的背包，另外有3个物品，物品1重量为3kg，价值为4；物品2重量为4kg，价值为5；物品3重量为5kg，价值为6。

根据dp[i][j] = max{dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]]+v[i]}，对物体个数及背包重量进行递推，列出一个表格（见下表），表格来自

（http://blog.csdn.net/fg2006/article/details/6766384?reload）

#include <iostream>#include <algorithm>using namespace std;int max(int a, int b) { return (a>b) ? a : b; }int binaryKnapsack(int numItems, int capacity, int *w, int *v);int main(int argc, char const *argv[]) {  int n, m;  cin >> n >> m;  int w[n], v[n];  for (int i = 0; i < n; i++) {    cin >> w[i] >> v[i];  }  int MaxWeight = binaryKnapsack(n, m, w, v);  cout << MaxWeight << endl;  return 0;}int binaryKnapsack(int numItems, int capacity, int *w, int *v){  int dp[numItems+1][capacity+1];  for (int i = 0; i <= numItems; i++) {    for (int j = 0; j <= capacity; j++) {      if(i == 0 || j == 0)        dp[i][j] = 0;      else if(w[i-1] <= j)//w、v数组的序号是从0开始的        dp[i][j] = max(dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1], dp[i-1][j]);      else        dp[i][j] = dp[i-1][j];    }  }  return dp[numItems][capacity];}