数位DP学习 （总结篇）

http://www.cnblogs.com/jackge/archive/2013/05/15/3080958.html

1， HDU 2089  不要62 :http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2089

题意：不能出现4，或者相邻的62，

　　dp[i][0],表示不存在不吉利数字 

　　 dp[i][1],表示不存在不吉利数字，且最高位为2 

       dp[i][2],表示存在不吉利数字

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int dp[10][3];void Init(){    //预处理，算出所有可能    memset(dp,0,sizeof(dp));    dp[0][0]=1;    for(int i=1;i<=8;i++){        dp[i][0]=dp[i-1][0]*9-dp[i-1][1];   //在不含不吉利数62和4的首位分别补除了4的9个数字，减去在2前面补6的个数        dp[i][1]=dp[i-1][0];        //在不含不吉利数在首位补2        dp[i][2]=dp[i-1][2]*10+dp[i-1][0]+dp[i-1][1];   //各种出现不吉利数的情况    }}int Solve(int x){    int digit[15];    int cnt=0,tmp=x;    while(tmp){        digit[++cnt]=tmp%10;        tmp/=10;    }    digit[cnt+1]=0;    int flag=0,ans=0;    for(int i=cnt;i>0;i--){        ans+=digit[i]*dp[i-1][2];   //由上位所有不吉利数推导        if(flag)     //之前出现不吉利的数字            ans+=digit[i]*dp[i-1][0];        else{            if(digit[i]>4)   //出现4                ans+=dp[i-1][0];            if(digit[i]>6)   //出现6                ans+=dp[i-1][1];            if(digit[i+1]==6 && digit[i]>2)  //出现62                ans+=dp[i][1];        }        if(digit[i]==4 || (digit[i+1]==6 && digit[i]==2))            flag=1;    }    return x-ans;   //所有的数减去不吉利的数}int main(){    //freopen("input.txt","r",stdin);    int a,b;    Init();    while(~scanf("%d%d",&a,&b)){        if(a==0 && b==0)            break;        printf("%d\n",Solve(b+1)-Solve(a));    }    return 0;}

另附一种暴力预处理法：

string 类提供了 6 种查找函数,每种函数以不同形式的 find 命名。这些操作全都返回 string::size_type 类型的值，以下标形式标记查找匹配所发生的位置；或者返回一个名为 string::npos 的特殊值，说明查找没有匹配。string 类将 npos 定义为保证大于任何有效下标的值。

比如：

string str;

pos=str.find_first_of("h");

if(pos!=string::npos)

{..

....

} //npos是一个常数，用来表示不存在的位置，类型一般是std::container_type::size_type 
//许多容器都提供这个东西。取值由实现决定，一般是-1，这样做，就不会存在移植的问题了。npos表示string的结束位子，

//是string::type_size 类型的，也就是find（）返回的类型。

 

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<string>using namespace std;int n,m;int lucky[1000010];void Init(){    char c[20];    string str;    for(int i=1;i<1000000;i++){        sprintf(c,"%d",i);        str=c;        if(str.find("62")==string::npos && str.find("4")==string::npos)            lucky[i]=1;        else            lucky[i]=0;    }}int main(){    //freopen("input.txt","r",stdin);    int ans;    Init();    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){        if(n==0 && m==0)            break;        ans=0;        for(int i=n;i<=m;i++)            ans+=lucky[i];        printf("%d\n",ans);    }    return 0;}

 

 

2， HDU  3555  Bomb：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3555

题意就是找0到n有多少个数中含有49。数据范围接近10^20

DP的状态是2维的dp[len][3]
dp[len][0] 代表长度为len不含49的方案数
dp[len][1] 代表长度为len不含49但是以9开头的数字的方案数
dp[len][2] 代表长度为len含有49的方案数

状态转移如下
dp[i][0] = dp[i-1][0] * 10 - dp[i-1][1];  // not include 49  如果不含49且，在前面可以填上0-9 但是要减去dp[i-1][1] 因为4会和9构成49
dp[i][1] = dp[i-1][0];  // not include 49 but starts with 9  这个直接在不含49的数上填个9就行了
dp[i][2] = dp[i-1][2] * 10 + dp[i-1][1]; // include 49  已经含有49的数可以填0-9，或者9开头的填4

接着就是从高位开始统计

在统计到某一位的时候，加上 dp[i-1][2] * digit[i] 是显然对的，因为这一位可以填 0 - (digit[i]-1)
若这一位之前挨着49，那么加上 dp[i-1][0] * digit[i] 也是显然对的。
若这一位之前没有挨着49，但是digit[i]比4大，那么当这一位填4的时候，就得加上dp[i-1][1]

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;long long n,dp[25][3];void Init(){    memset(dp,0,sizeof(dp));    dp[0][0]=1;    for(int i=1;i<=20;i++){        dp[i][0]=dp[i-1][0]*10-dp[i-1][1];        dp[i][1]=dp[i-1][0];        dp[i][2]=dp[i-1][2]*10+dp[i-1][1];    }}long long Solve(long long x){    int digit[25];    int cnt=0;    while(x){        digit[++cnt]=x%10;        x/=10;    }    digit[cnt+1]=0;    int flag=0;    long long ans=0;    for(int i=cnt;i>0;i--){        ans+=digit[i]*dp[i-1][2];        if(flag)            ans+=digit[i]*dp[i-1][0];        else{            if(digit[i]>4)                ans+=dp[i-1][1];        }        if(digit[i+1]==4 && digit[i]==9)            flag=1;    }    return ans;}int main(){    //freopen("input.txt","r",stdin);    int t;    scanf("%d",&t);    Init();    while(t--){        scanf("%I64d",&n);        printf("%I64d\n",Solve(n+1));   //因为包含n，所以n需要+1    }    return 0;}

 

DFS:

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;long long n,dp[25][3];int digit[25];long long DFS(int pos,int status,int limit){    if(pos==-1) // 如果到了已经枚举了最后一位，并且在枚举的过程中有49序列出现         return status==2;    if(!limit && dp[pos][status]!=-1)   // 对于有限制的询问我们是不能够记忆化的         return dp[pos][status];    long long ans=0;    int s,end=limit?digit[pos]:9;   // 确定这一位的上限是多少    for(int i=0;i<=end;i++){    // 每一位有这么多的选择         s=status;       // 有点else s = statu 的意思         if(status==1 && i==9)            s=2;        if(status==0 && i==4)            s=1;        if(status==1 && i!=4 && i!=9)            s=0;        ans+=DFS(pos-1,s,limit && i==end);    }    if(!limit)        dp[pos][status]=ans;    return ans;}long long Cal(long long x){    int cnt=-1;    while(x){        digit[++cnt]=x%10;        x/=10;    }    return DFS(cnt,0,1);}int main(){    //freopen("input.txt","r",stdin);    int t;    scanf("%d",&t);    while(t--){        memset(dp,-1,sizeof(dp));        scanf("%I64d",&n);        printf("%I64d\n",Cal(n));    }    return 0;}

 

3, UESTC  1307 windy数 : http://acm.uestc.edu.cn/problem.php?pid=1307

要求相邻的数差大于等于2

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int dp[20][10]; //dp[i][j]表示考虑i位的数中，最高为j的windy数int abs(int x){    return x<0?-x:x;}void Init(){    memset(dp,0,sizeof(dp));    for(int i=0;i<=9;i++)        dp[1][i]=1;    for(int i=2;i<=10;i++)        for(int j=0;j<10;j++)            for(int k=0;k<10;k++)                if(abs(j-k)>=2)                    dp[i][j]+=dp[i-1][k];}int Solve(int x){    int digit[20],cnt=0;    while(x){        digit[++cnt]=x%10;        x/=10;    }    digit[cnt+1]=0;    int ans=0;    for(int i=1;i<cnt;i++)  //先把长度为1至cnt-1计入         for(int j=1;j<10;j++)            ans+=dp[i][j];    for(int j=1;j<digit[cnt];j++)   //确定最高位          ans+=dp[cnt][j];    for(int i=cnt-1;i>0;i--){        for(int j=0;j<digit[i];j++)            if(abs(j-digit[i+1])>=2)                ans+=dp[i][j];        if(abs(digit[i]-digit[i+1])<2)  //如果高位已经出现非法，直接退出              break;    }    return ans;}int main(){    //freopen("input.txt","r",stdin);    int a,b;    Init();    while(~scanf("%d%d",&a,&b)){        printf("%d\n",Solve(b+1)-Solve(a));    }    return 0;}

 

 4, HDU  3652 B-number :http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3652

题意：求小于n是13的倍数且含有'13'的数的个数

dp[i][j][k]

i：第i位，j：余数为j

k=0：不含13  1：3开头不含13  2：含13

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;const int N=12;int md[N],dp[N][13][3];void Init(){    md[0]=1;    for(int i=1;i<N;i++)        md[i]=md[i-1]*10%13;    memset(dp,0,sizeof(dp));    dp[0][0][0]=1;    for(int i=0;i<N-1;i++)        for(int j=0;j<13;j++){            for(int k=0;k<10;k++)                dp[i+1][(j+md[i]*k)%13][0]+=dp[i][j][0];            dp[i+1][(j+md[i])%13][0]-=dp[i][j][1];            dp[i+1][(j+md[i]*3)%13][1]+=dp[i][j][0];            dp[i+1][(j+md[i])%13][2]+=dp[i][j][1];            for(int k=0;k<10;k++)                dp[i+1][(j+md[i]*k)%13][2]+=dp[i][j][2];        }}int Solve(int x){    int digit[15],len=0;    while(x){        digit[len++]=x%10;        x/=10;    }    digit[len]=0;    int flag=0,ans=0,mod=0;    for(int i=len-1;i>=0;mod=(mod+digit[i]*md[i])%13,i--){        for(int j=0;j<digit[i];j++)            ans+=dp[i][(13-(mod+j*md[i])%13)%13][2];        if(flag){            for(int j=0;j<digit[i];j++)                ans+=dp[i][(13-(mod+j*md[i])%13)%13][0];        }else{            if(digit[i+1]==1 && digit[i]>3)                ans+=dp[i+1][(13-mod)%13][1];            if(digit[i]>1)                ans+=dp[i][(13-(mod+md[i])%13)%13][1];        }        if(digit[i+1]==1 && digit[i]==3)            flag=1;    }    return ans;}int main(){    //freopen("input.txt","r",stdin);    Init();    int n;    while(~scanf("%d",&n)){        printf("%d\n",Solve(n+1));    }    return 0;}

 

另附DFS：

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int dp[20][13][3];int n,digit[20];int DFS(int pos,int mod,int status,int limit){  //limit 有上限为1 无上限为0     if(pos<=0)        return status==2 && mod==0;    if(!limit && dp[pos][mod][status]!=-1)  //当前状态访问过，没有上限        return dp[pos][mod][status];    int end=limit?digit[pos]:9;    int ans=0;    for(int i=0;i<=end;i++){        int nmod=(mod*10+i)%13;        int nstatus=status;        if(status==0 && i==1)   //高位不含13，并且末尾不是1 ，现在末尾添1            nstatus=1;        if(status==1 && i!=1)   //高位不含13，且末位是1，现在末尾添加的不是1返回0状态            nstatus=0;        if(status==1 && i==3)   //高位不含13，且末尾是1，现在末尾添加3返回2状态            nstatus=2;        ans+=DFS(pos-1,nmod,nstatus,limit && i==end);    }    if(!limit)        dp[pos][mod][status]=ans;    return ans;}int main(){    //freopen("input.txt","r",stdin);    memset(dp,-1,sizeof(dp));    while(~scanf("%d",&n)){        int len=0;        while(n){            digit[++len]=n%10;            n/=10;        }        digit[len+1]=0;        printf("%d\n",DFS(len,0,0,1));    }    return 0;}

 

5，HDU 3943 K-th Nya Number :http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3943

用X个4和Y个7的数为规定的数，然后就是区间统计。

先预处理好dp[i][j][k]表示I位的数中有j个4和k个7的数量。

之后就可以通过高位开始枚举，求出区间内有多少个规定的数，如果询问大于总数，则输出"Nya!";

之后是怎么找到第K大数。

首先可以确定出位数，dp[i][x][y]表示i位时的满足数，那么大于dp[len-1][x][y]而小于dp[len][x][y]，len表示目标位数。

确定了位数之后，依旧从高位开始。比如说高位首先是0，而dp[len-1][x][y]小于k，说明0开头的目标说小于所求，所以往后继续找，记得要把之前的减掉。

还得注意一些细节，出现了4和7的情况。

貌似有题解说的是二分查找，没有过多的了解。

另外坑的是 这里的区间是左开右闭。

 

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;long long dp[25][25][25];   //dp[i][j][k]表示i位的数，有j个4，k个7的数量long long p,q;int x,y;void Init(){    memset(dp,0,sizeof(dp));    dp[0][0][0]=1;    for(int i=1;i<21;i++)        for(int j=0;j<=i;j++)            for(int k=0;k<=i;k++)                if(j+k<=i){                    dp[i][j][k+1]+=dp[i-1][j][k];                    dp[i][j+1][k]+=dp[i-1][j][k];                    dp[i][j][k]+=dp[i-1][j][k]*8;   //在高位加上除了4、7以外的8个数字                }}long long getCount(long long n){    int digit[25],len=0;    while(n){        digit[++len]=n%10;        n/=10;    }    digit[len+1]=0;    long long ans=0;    int cx=x,cy=y;    for(int i=len;i>0;i--){ //从高位开始枚举        for(int j=0;j<digit[i];j++){            if(j==4){                if(cx)                    ans+=dp[i-1][cx-1][cy];            }else if(j==7){                if(cy)                    ans+=dp[i-1][cx][cy-1];            }else                ans+=dp[i-1][cx][cy];        }        if(digit[i]==4)            cx--;        if(digit[i]==7)            cy--;        if(cx<0 || cy<0)    //如果高位出现的4、7数量已经超过要求，则退出            break;    }    return ans;}long long Solve(long long k){    int len=1;    while(1){        if(dp[len-1][x][y]<k && dp[len][x][y]>=k)   //找到目标数的长度            break;        len++;    }    long long res=0;    int cx=x,cy=y;    for(int i=len;i>0;i--)   //从高位开始从小枚举        for(int j=0;j<10;j++){            int tx=cx,ty=cy;            if(j==4){                tx--;                if(tx<0)                    continue;            }            if(j==7){                ty--;                if(ty<0)                    continue;            }            if(dp[i-1][tx][ty]>=k){                res=res*10+j;                cx=tx;                cy=ty;                break;            }            k-=dp[i-1][tx][ty];        }    return res;}int main(){    //freopen("input.txt","r",stdin);    int t,cases=0;    scanf("%d",&t);    Init();    while(t--){        scanf("%I64d%I64d%d%d",&p,&q,&x,&y);        long long a=getCount(q+1);        long long b=getCount(p+1);  //注意是左开区间，        int n;        long long k;        scanf("%d",&n);        printf("Case #%d:\n",++cases);        while(n--){            scanf("%I64d",&k);            if(k>a-b)                puts("Nya!");            else                printf("%I64d\n",Solve(k+b));        }    }    return 0;}

 

6, HDU  3709  Balance Number : http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3709

 

平衡数，枚举支点，然后其它的类似。加一维表示当前的力矩，注意当力矩为负时，就要返回，否则会出现下标为负，也算是个剪枝。

题目大意: 题目先给出平衡数的概念：数n以数n中的某个位为支点，每个位上的数权值为（数字xi*（posi - 支点的posi）），如果数n里有一个支点使得所有数权值之和为0那么她就是平衡数。比如4139，以3为支点，左边 = 4 * (4 - 2) + 1 * (3  - 2) = 9，右边 = 9 * (1 - 2) = -9，左边加右边为0，所以4139是平衡数。现在给出一个区间[l,r]，问区间内平衡数有多少个？

解题思路：
    这类题目用逆推要比正推好做，方法是记忆化搜索。每次向下传递目前的状态，下面每次都返回通过这些状态后面能得到的结果。
    因为要权值之和为0，我们枚举每个支点o，然后从高位往地位搜索并记录状态，这里的状态为当前的位置pos，之前的权值之和pre、支点o，这三个组合起来就可以表示一个状态。每种状态都至多遍历一次，如果第二次遍历到某个状态，就直接返回前一次往下遍历的结果。
    上一段已经解释了Dfs中的三个参数，那还剩下一个参数limit是干什么的？limit表示是否有上界，如果我们要找的是[0，12345,现在找到123，这时limit还是1，如果下一个枚举到的数是3，limit就变成0，以后都可以枚举到9而不是到5.

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;    long long dp[20][20][2010];  //dp记忆化搜索用 ,dp[i][j][k]表示考虑i位数字，支点为j，力矩和为kint digit[20];long long DFS(int pos,int central,int pre,int limit){       //pos表示当前位置，central表示支点，pre表示从最高位到pos的力矩之和，limit表示是否有上限 1有 0无     if(pos<=0)  //已经全部组合         return pre==0;    if(pre<0)   //前面组合而成的力矩之和已经小于0，后面的也都是负数         return 0;    if(!limit && dp[pos][central][pre]!=-1)  //没有上限且当前的状态之前已经搜索过        return dp[pos][central][pre];    int end=limit?digit[pos]:9; //有上限就设为上限，否则最高到9    long long ans=0;    for(int i=0;i<=end;i++)        ans+=DFS(pos-1,central,pre+i*(pos-central),limit && (i==end));    if(!limit)        dp[pos][central][pre]=ans;    return ans;}long long Solve(long long x){    int len=0;    while(x){        digit[++len]=x%10;        x/=10;    }    digit[len+1]=0;    long long ans=0;    for(int i=1;i<=len;i++) //枚举支点        ans+=DFS(len,i,0,1);    return ans-(len-1);     //除掉全0的情况，00，0000满足条件，但是重复了}int main(){    //freopen("input.txt","r",stdin);    long long a,b;    int t;    scanf("%d",&t);    memset(dp,-1,sizeof(dp));    while(t--){        scanf("%I64d%I64d",&a,&b);        printf("%I64d\n",Solve(b)-Solve(a-1));    }    return 0;}

 

7, HDU  3709  SNIBB : http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3271

题意：将一个数转化成B进制后，他的val表示的是各位上的数字和。

首先还是预处理，dp[i][j]表示转化成B进制后，长度为i的数中，数字和为j的数字有多少个，感觉越来越像数位DP。。。

对于询问1：压根就是数位DP，从高位开始枚举，记录之前已经出现的位数和，然后枚举当前位。注意区间的开闭问题，边界处理好

对于询问2：首先通过询问1得出的数目，判断是否存在第K大，然后就是二分答案，判断[l,mid]中和为m的数有多少个。

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>using namespace std;int dp[32][310];void Init(int b,int m){ //转换成B进制后，长度为i的数中各位和为j的个数      memset(dp,0,sizeof(dp));    dp[0][0]=1;    for(int i=1;i<32;i++)        for(int j=0;j<=m;j++)            for(int k=0;k<b && k+j<=m;k++)                dp[i][j+k]+=dp[i-1][j];}int Cal(int n,int b,int m){ //统计[0,n]中转换成b进制，和为m的个数      int digit[35],len=0;    while(n){        digit[++len]=n%b;        n/=b;    }    digit[len+1]=0;    int ans=0,tot=0;    for(int i=len;i>0;i--){        for(int j=0;j<digit[i] && m-tot-j>=0;j++)            ans+=dp[i-1][m-tot-j];        tot+=digit[i];        if(tot>m)            break;    }    if(tot==m)  //本身的和就是m，注意别落下        ans++;    return ans;}int main(){    //freopen("input.txt","r",stdin);    int cases=0;    int op,x,y,b,m,k;    while(~scanf("%d%d%d%d%d",&op,&x,&y,&b,&m)){        Init(b,m);        if(x>y)            swap(x,y);        printf("Case %d:\n",++cases);        int ans=Cal(y,b,m)-Cal(x-1,b,m);        if(op==1){            printf("%d\n",ans);            continue;        }        scanf("%d",&k);        if(k>ans){            puts("Could not find the Number!");            continue;        }        int low=x,high=y,mid;        while(low<high){            //二分答案，判断在[l,mid]中和为m的个数            mid=(int)((((long long)low+(long long)high))/2);            int now=Cal(mid,b,m)-Cal(x-1,b,m);            if(now<k)                low=mid+1;            else                high=mid;        }        printf("%d\n",low);    }    return 0;}