bzoj2876: [Noi2012]骑行川藏 :拉格朗日乘数法
来源:互联网 发布:kali linux 密码字典 编辑:程序博客网 时间:2024/04/28 07:24
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bzoj2876
题目描述
Description
蛋蛋非常热衷于挑战自我,今年暑假他准备沿川藏线骑着自行车从成都前往拉萨。川藏线的沿途有着非常美丽的风景,但在这一路上也有着很多的艰难险阻,路况变化多端,而蛋蛋的体力十分有限,因此在每天的骑行前设定好目的地、同时合理分配好自己的体力是一件非常重要的事情。
由于蛋蛋装备了一辆非常好的自行车,因此在骑行过程中可以认为他仅在克服风阻做功(不受自行车本身摩擦力以及自行车与地面的摩擦力影响)。某一天他打算骑N段路,每一段内的路况可视为相同:对于第i段路,我们给出有关这段路况的3个参数 si , ki , vi’ ,其中 si 表示这段路的长度, ki 表示这段路的风阻系数, vi’ 表示这段路上的风速(表示在这段路上他遇到了顺风,反之则意味着他将受逆风影响)。若某一时刻在这段路上骑车速度为v,则他受到的风阻大小为 F = ki ( v - vi’ )2(这样若在长度为s的路程内保持骑行速度v不变,则他消耗能量(做功)E = ki ( v - vi’ )2 s)。
设蛋蛋在这天开始时的体能值是 Eu ,请帮助他设计一种行车方案,使他在有限的体力内用最短的时间到达目的地。请告诉他最短的时间T是多少。
【评分方法】
本题没有部分分,你程序的输出只有和标准答案的差距不超过0.000001时,才能获得该测试点的满分,否则不得分。
【数据规模与约定】
对于10%的数据,N=1;
对于40%的数据,N<=2;
对于60%的数据,N<=100;
对于80%的数据,N<=1000;
对于所有数据,N <= 10000,0 <= Eu <= 108,0 < si <= 100000,0 < ki <= 1,-100 < vi’ < 100。数据保证最终的答案不会超过105。
【提示】
必然存在一种最优的体力方案满足:蛋蛋在每段路上都采用匀速骑行的方式。
Input
第一行包含一个正整数N和一个实数Eu,分别表示路段的数量以及蛋蛋的体能值。 接下来N行分别描述N个路段,每行有3个实数 si , ki , vi’ ,分别表示第 i 段路的长度,风阻系数以及风速。
Output
输出一个实数T,表示蛋蛋到达目的地消耗的最短时间,要求至少保留到小数点后6位。
Sample Input
3 10000
10000 10 5
20000 15 8
50000 5 6
Sample Output
12531.34496464
【样例说明】 一种可能的方案是:蛋蛋在三段路上都采用匀速骑行的方式,其速度依次为5.12939919, 8.03515481, 6.17837967。
题解
拉格朗日乘数法是用来求条件极值的,极值问题有两类,其一,求函数在给定区间上的极值,对自变量没有其它要求,这种极值称为无条件极值。这一类可以通过求偏导解决,即分别以每个变元求导,导数同时为0时取最值。其二,对自变量有一些附加的约束条件限制下的极值,称为条件极值。
求函数
在此题中
#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#include<queue>#include<vector>#include<set>#include<map>using namespace std;#define eps 1e-12double ans[10010],k[10010],s[10010],v[10010],E;int n;double solve(double a,int i){ double l=max(0.0,v[i]),r=1e9,mid; while(r-l>eps){ mid=(l+r)/2; if(2*a*k[i]*mid*mid*(mid-v[i])<=1) l=mid; else r=mid; } return mid;}int main(){ scanf("%d%lf",&n,&E); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&s[i],&k[i],&v[i]); double l=0,r=1e9,mid,sum; while(r-l>eps){ mid=(l+r)/2; sum=0; for(int i=1;i<=n;i++){ ans[i]=solve(mid,i); sum+=k[i]*(ans[i]-v[i])*(ans[i]-v[i])*s[i]; } if(sum>=E) l=mid; else r=mid; } for(int i=1;i<=n;i++) ans[0]+=s[i]/ans[i]; printf("%.10f",ans[0]); return 0;}
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