【拉格朗日乘数法】bzoj2876: [Noi2012]骑行川藏

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普及一下拉格朗日乘数法。
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问题：求f(a,b,c,...)的极值，其中g(a,b,c,...)=0。
即一个多元式在某一限制下的极值。

令f+λg=0。
于是有：

f‘(a)+λg‘(a)=0

f‘(b)+λg‘(b)=0

......

g(a,b,c,...)=0

有n个方程，n个未知数，理论上是可以求出a,b,c,...的具体值的。

对于此题，拉格朗日的方程为：

−siv2i+2λkisi(vi−vi‘)=0

化简一下：

2λkiv2i(vi−vi‘)=1

二分一下λ，然后求出每一个方程的解检验一下即可。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cmath>#define eps 1e-12#define MAXN 10005using namespace std;int n;double s[MAXN], k[MAXN], v[MAXN], E, vv[MAXN], vmax[MAXN];double cal(double num){    double sum=0, l, r, mid, a, b;    for(int i=1;i<=n;++i)    {        l=v[i], r=vmax[i];        a=2*num*k[i], b=-a*v[i];        while(l+eps<r)        {            mid=(l+r)/2;            if(a*mid*mid*mid+b*mid*mid-1>0)r=mid;            else l=mid;        }        vv[i]=(l+r)/2;        sum+=s[i]*k[i]*(vv[i]-v[i])*(vv[i]-v[i]);    }    return sum;}int main(){    scanf("%d%lf",&n,&E);    for(int i=1;i<=n;++i)    {        scanf("%lf%lf%lf",&s[i],&k[i],&v[i]);        vmax[i]=s[i]>0?v[i]+sqrt(E/s[i]/k[i]):0;    }    double l=0, r=1e4, mid;    while(r-l>eps)    {        mid=(l+r)/2;        if(cal(mid)<E)r=mid;        else l=mid;    }    double ans=0;    for(int i=1;i<=n;++i)ans+=s[i]/vv[i];    printf("%.10f\n",ans);    return 0;}