数字金字塔（动态规划）

Description

你和权权是一对很好很好的朋友。有一天，你们无聊得很，便上网冲浪，突然在一个叫做USACO的网中找到了一个游戏：《数字金子塔》。游戏规则是这样的：求一个数字金字塔中从最高点开始在底部任意处结束的路径经过数字的和的最大，其中的每一步可以走到下方的点也可以到达右下方的点。例如在下面的例子中，从7— 3 — 8 — 7 –- 5的路径产生了最大和：30。 
7 
3 8 
8 1 0 
2 7 4 4 
4 5 2 6 5 
你们便约定了谁能计算出最后的值便是赢者。你仰天（天花板）长叹：我能成为赢者吗，要知道权权可是很厉害的哦…… 

Input

第一行输入N（1<=N<=1000），表示数字金字塔行的数目。后面N输入这个数字金字塔，每个数字皆为整数(1<=x<=10000)，每2个整数之间有1个空格。

Output

单独一行输出最后得到的最大的和。

Sample Input

 

5 

7 

3 8 

8 1 0 

2 7 4 4 

4 5 2 6 5

 

Sample Output

 

30

解题思路1：f[i,j]为从第i阶段中的点j至第n行的最大的数字和，状态转移方程为：

f[n,j]=a[n,j]  1<=j<=n

f[i,j]=max{a[i,j]+f[i+1,j],a[i,j]+f[i+1,j+1]}  1<=j<=i,1<=i<=n-1

f[1,1]即为所求。

程序1：

var

  a,f:array[1..1000,1..1000]of longint;

  n,i,j:longint;

function max(x,y:longint):longint;

  begin

    if x>y thenexit(x);

    exit(y);

end;

begin

  readln(n);

  for i:=1 to n do

    begin

      forj:=1 to i do

       read(a[i,j]);

     readln;

    end;

  for i:=1 to n do

    f[n,i]:=a[n,i];

  for i:=n-1 downto 1 do

    for j:=i downto 1do

     f[i,j]:=max(a[i,j]+f[i+1,j],a[i,j]+f[i+1,j+1]);

  writeln(f[1,1]);

end.

解题思路2：f[i,j]为从第i阶段中的点j至第n行的最大的数字和，状态转移方程为：

f[1,1]=a[1,1]

f[i,1]=a[i,1]+f[i-1,1]

f[i,j]=max{a[i,j]+f[i-1,j-1],a[i,j]+f[i-1,j]}     2<=j<=i

max{f[n,1],f[n,2],……,f[n,n]即为所求。

程序2：

var

  a,f:array[1..1000,1..1000]of longint;

  n,i,j,ans:longint;

function max(x,y:longint):longint;

  begin

    if x>y thenexit(x);

    exit(y);

end;

begin

  readln(n);

  for i:=1 to n do

    begin

      forj:=1 to i do

       read(a[i,j]);

     readln;

    end;

  f[1,1]:=a[1,1];

  for i:=2 to n do

   f[i,1]:=a[i,1]+f[i-1,1];

  for i:=2 to n do

    for j:=2 to i do

     f[i,j]:=max(a[i,j]+f[i-1,j-1],a[i,j]+f[i-1,j]);

  for i:=1 to n do

    if f[n,i]>ans thenans:=f[n,i];

  writeln(ans);

end.

解题思路3：f[j] 表示第i行第j个位置上的数到顶点的最大值，状态转移方程为：

f[j]=max{a[j]+f[j-1],a[j]+f[j]}  2<=j<=i

f[1]=a[1]+f[1]

max{f[n,1],f[n,2],……,f[n,n]即为所求。

程序3：

var

  a,f:array[1..1000]of longint;

  n,i,j,x:longint;

function max(x,y:longint):longint;

  begin

    if x>y thenexit(x);

    exit(y);

end;

begin

  readln(n);

  readln(a[1]);

  f[1]:=a[1]+f[1];

  for i:=2 to n do

    begin

      forj:=1 to i do

       read(a[j]);

      forj:=i downto 2 do

       f[j]:=max(a[j]+f[j-1],a[j]+f[j]);

     f[1]:=a[1]+f[1];

    end;

  for i:=1 to n do

    if f[i]>x thenx:=f[i];

  writeln(x);

end.

版权属于: Chris

原文地址: http://blog.sina.com.cn/s/blog_83ac6af80102v8i0.html

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