线性代数笔记

矩阵

|—非方阵

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|—方阵

| |—奇异阵：不满秩

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|—非奇异阵：满秩，满秩就可逆，就有逆阵，其他只有伪逆

AA^T是个对称阵

 

矩阵可逆的充分必要条件：

AB=E；

A为满秩矩阵（即r(A)=n）；

A的特征值全不为0；

A的行列式|A|≠0，也可表述为A不是奇异矩阵（即行列式为0的矩阵）；

A等价于n阶单位矩阵；

A可表示成初等矩阵的乘积；

齐次线性方程组AX=0仅有零解；

非齐次线性方程组AX=b有唯一解；

A的行（列）向量组线性无关；

任一n维向量可由A的行（列）向量组线性表示。

逆阵求法：高斯-若尔当求法

[A|I]→通过消元变换→[I|A^-1 ]

伪逆：就是广义的逆阵，

 

对角阵的作用就是对矩阵的进行各向量方向上的拉伸，向量拉伸倍数就是对角阵的对应的数

 

奇异阵：首先得是方阵，其次得行列式为零，行列是为零就是说n维体积为零，就是说不满秩的方阵，奇异阵或非方阵的矩阵不存在逆矩阵

 

四个基本子空间：A是m*n的，那么A列空间C(A)属于R^m子空间，A的零空间N(A)属于Rⁿ的子空间；行空间C(A^T)属于Rⁿ子空间，A的左零空间N(A^T)属于R^m的子空间，列空间和行空间的秩都是r，零空间的秩是n-r，左零空间的秩序是m-r

 

投影：对于Ax=b无解的时候，求一个最近解x’，实际上把Ax=b转换成了Ax’=p，p是b在A上的投影，e是误差向量，与P是正交的，与A也是正交的e=b-p=b-Ax’，假如A的列空间里有a₁,a₂,a₃...；则有a₁^Te=0,a₂^Te=0,a₃^Te=0...写成矩阵就是A^Te=0；A^T(b-Ax’)=0；(要区分Ax=b中的x，和误差向量e不是一个空间里的，x在零空间，e在左零空间，x是n*1，e是m*1，所以上式不是A而是A^T，一开始理解错误的一点是，Ax=0，其实是A的行向量和x乘积为零，而不是列向量)那么也有p=A(A^TA)^-1A^Tb;P=A(A^TA)^-1A^T

两点性质：P^T=P；P²=P

 

特征值分解：Ax=λx

求特征值就是求|A-λI|=0

再求出特征向量x

当特征向量组成的矩阵S时

有：

AS=SɅ→A=SɅS^-1，其中Ʌ是特征值的对角阵