LCS最长公共子序列

来源：互联网发布：用c语言编写韩信点兵编辑：程序博客网时间：2024/06/06 08:34

参考博文http://blog.csdn.net/yysdsyl/article/details/4226630

问题描述

给定两个字符串A和B，求出他们之间最长的公共子序列。
定义子序列：令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列

问题分析

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：
（1）如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；
（2）如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；
（3）如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。
这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

根据上述分析，可以得到如下的动态规划递推公式，其中i代表A下标，j代表B的下标

matrix[i][j] = matrix[i-1][j-1] + 1,  if (a[i]==b[j])matrix[i][j] = matrix[i-1][j],  if (a[i]!=b[j]) && matrix[i-1][j]>matrix[i][j-1]matrix[i][j] = matrix[i][j-1],  if (a[i]!=b[j]) && matrix[i][j-1]>matrix[i-1][j]

输出路径

path[i][j] = lefttop,   if (a[i]==b[j])path[i][j] = left],  if (a[i]!=b[j]) && matrix[i-1][j]>matrix[i][j-1]path[i][j] = top,  if (a[i]!=b[j]) && matrix[i][j-1]>matrix[i-1][j]

示例
matrix和path合二为一的结果

代码

public class LCS {    private static final char lefttop = '0';    private static final char top = '1';    private static final char left = '2';    public static String getMaxSequence(String a,String b) {        int len1 = a.length(), len2 = b.length();        int[][] matrix = new int[len1+1][len2+1];        char[][] path = new char[len1+1][len2+1];        for (int i=1;i<=len1;i++) {            for (int j=1;j<=len2;j++) {                if (a.charAt(i-1)==b.charAt(j-1)) {                    matrix[i][j] = matrix[i-1][j-1]+1;                    path[i][j] = lefttop;                } else if (matrix[i-1][j]>matrix[i][j-1]) {                    matrix[i][j] = matrix[i-1][j];                    path[i][j] = top;                } else {                    matrix[i][j] = matrix[i][j-1];                    path[i][j] = left;                }            }        }        int i = len1, j = len2;        StringBuilder sb = new StringBuilder();        while (!(i==0||j==0)) {            char ch = path[i][j];            switch (ch) {                case lefttop:                    sb.append(a.charAt(i-1));                    i--;                    j--;                    break;                case left:                    j--;                    break;                case top:                    i--;                    break;            }        }        return sb.reverse().toString();    }    public static void main(String[] args) {        String a = "abcbdab";        String b = "bdcaba";        System.out.println(getMaxSequence(a,b));    }}

代码链接https://github.com/lincolnmi/algorithms/blob/master/src/StringAlgorithm/LCS/LCS.java

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