斐波那契数列的第 n 项 mod 1000000007（矩阵乘法）

矩阵快速幂：

F(0) = 0

F(1) = 1

F(n) = F(n - 1) + F(n - 2) (n >= 2)

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...)

给出n，求F(n)，由于结果很大，输出F(n) % 1000000007的结果即可。

引例 ：求斐波那契数列的第 n 项 mod 1000000007 的值， n <= 10 18 。

分析 ：斐波那契数列的递推式为 f(n) = f(n-1)+f(n-2) ，直接循环求出 f(n) 的时间复杂度是 O(n) ，对于题目中的数据范围显然无法承受。很明显我们需要对数级别的算法。由于 f(n) = 1*f(n-1) + 1*f(n-2) 这样的形式很类似于矩阵的乘法，所以我们可以先把这个问题复杂化一下，将递推求解 f(n) 与 f(n-1) 的过程看作是某两个矩阵相乘的结果，式子如下：

即：

所以我们只要不断地乘以上面式子中的第二个矩阵（也就是第二个矩阵的幂）就能够不断递推得到 f(n) 。但是这样于解题没有丝毫益处，反而使得常数变得更大（矩阵乘法的复杂度为立方级别）。所以我们就要利用矩阵乘法的一条重要性质：结合律。即矩阵 (A*B)*C = A*(B*C) ，证明过程可参见 2008 年国家集训队俞华程的论文。

有了结合律我们就可以用快速幂计算矩阵的幂，问题的复杂度顺利降到了 O(logn) 。

代码：

#include<iostream>  #include<memory.h>  #include<cstdlib>  #include<cstdio>  #include<cmath>  #include<cstring>  #include<string>  #include<cstdlib>  #include<iomanip>  #include<vector>  #include<list>  #include<map>  #include<algorithm>  typedef long long LL;  const LL maxn=1000+10;const LL mod=1000000007;const int N=2;using namespace std; struct Matrix{LL m[N][N];};Matrix A={1,1,1,0};Matrix I={1,0,0,1};Matrix multi(Matrix a,Matrix b){Matrix c;for(int i=0;i<N;i++){for(int j=0;j<N;j++){c.m[i][j]=0;for(int k=0;k<N;k++)c.m[i][j]+=a.m[i][k]*b.m[k][j]%mod;c.m[i][j]%=mod;}}return c;}Matrix power(Matrix A,int k){Matrix ans=I,p=A;while(k){if(k&1){ans=multi(ans,p);k--;}k>>=1;p=multi(p,p);}return ans;}int main(){int n;while(~scanf("%d",&n)){Matrix ans =power(A,n-1);printf("%lld\n",ans,m[0][0]);}return 0;}