01背包问题

　01背包问题具体例子：假设现有容量10kg的背包，另外有3个物品，分别为a1，a2，a3。物品a1重量为3kg，价值为4；物品a2重量为4kg，价值为5；物品a3重量为5kg，价值为6。将哪些物品放入背包可使得背包中的总价值最大？

　　这个问题有两种解法，动态规划和贪婪算法。本文仅涉及动态规划。

　　先不套用动态规划的具体定义，试着想，碰见这种题目，怎么解决?

　　首先想到的，一般是穷举法，一个一个地试，对于数目小的例子适用，如果容量增大，物品增多，这种方法就无用武之地了。

　　其次，可以先把价值最大的物体放入，这已经是贪婪算法的雏形了。如果不添加某些特定条件，结果未必可行。

　　最后，就是动态规划的思路了。先将原始问题一般化，欲求背包能够获得的总价值，即欲求前i个物体放入容量为m（kg）背包的最大价值c[i][m]——使用一个数组来存储最大价值，当m取10，i取3时，即原始问题了。而前i个物体放入容量为m（kg）的背包，又可以转化成前(i-1)个物体放入背包的问题。下面使用数学表达式描述它们两者之间的具体关系。

　　表达式中各个符号的具体含义。

　　w[i] :  第i个物体的重量；

　　p[i] : 第i个物体的价值；

　　c[i][m] ： 前i个物体放入容量为m的背包的最大价值；

　　c[i-1][m] ： 前i-1个物体放入容量为m的背包的最大价值；

　　c[i-1][m-w[i]] ： 前i-1个物体放入容量为m-w[i]的背包的最大价值；

　　由此可得：

　　　　　　c[i][m] = max{ c[i-1][m-w[i]] + p[i] , c[i-1][m] }

根据上式，对物体个数及背包重量进行递推，列出一个表格（见下表），表格来自（http://blog.csdn.net/fg2006/article/details/6766384?reload） ，当逐步推出表中每个值的大小，那个最大价值就求出来了。推导过程中，注意一点，最好逐行而非逐列开始推导，先从编号为1的那一行，推出所有c[1][m]的值，再推编号为2的那行c[2][m]的大小。这样便于理解。

//01背包问题package dynamic_programming;public class Pack01 {public int[][] pack(int m, int n, int w[], int p[]) {int[][] c = new int[n + 1][m + 1]; // 一共n+1行，m+1列，多出来的0行0列作为循环的初始条件// 第0列初始化为0for (int i = 0; i < n + 1; i++) {c[i][0] = 0;}// 第0行初始化为0for (int j = 0; j < m + 1; j++) {c[0][j] = 0;}// 开始一行一行填表(从1行1列开始)for (int i = 1; i < n + 1; i++) {for (int j = 1; j < m + 1; j++) {// 注意第i个物品对应的重量w为w[i-1]，价格p为p[i-1]// 如果第i个物品的重量w[i-1]大于现在的容量j，则c[i][j]=c[i-1][m]if (w[i - 1] > j) {c[i][j] = c[i - 1][j];} else // 否则按照公式c[i][j]=max{ c[i-1][j-w[i-1]] + p[i-1] ,// c[i-1][j] }来计算{int value1 = c[i - 1][j - w[i - 1]] + p[i - 1];int value2 = c[i - 1][j];c[i][j] = (value1 > value2) ? value1 : value2;}}}return c;}public void printPack(int[][] c,int m,int n,int[] w){int[] x = new int[n];//从最后一个记录c[n][m]来逆推for(int i=n; i>0; i--){//如果c[i][m]>c[i-1][m]，则说明包含第i个物品if(c[i][m]>c[i-1][m]){x[i-1] = 1;//包含置1m -= w[i-1];}else{x[i-1] = 0;//不包含置0}}for(int i=1; i<=n; i++){if(x[i-1]==1){System.out.println("物品"+i);}}}public static void main(String[] args) {Pack01 p1 = new Pack01();int m = 10;int n = 3;int w[] = new int[] { 3, 4, 5 };int p[] = new int[] { 4, 5, 6 };int[][] c = p1.pack(m, n, w, p);System.out.println("最大价值为:"+c[3][10]+"\n包含的物品为：");p1.printPack(c, m, n, w);}}

文章参考：http://www.cnblogs.com/xy-kidult/archive/2013/03/25/2970313.html
http://blog.csdn.net/fg2006/article/details/6766384?reload  
心得体会：
最好自己手动填一次上面的表格，这样会有一个感性的认识，有助于理解动态的过程。