【HDU】 1452 Happy 2004

Happy 2004

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题目大意

    求2004n的所有因子和mod 29的值。

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题解

    这一题如果知道一个数的因子和S(n)是积性函数的话就非常简单，直接分解并进行计算就行了，可是如果不知道呢？其实提公因式也可以。
    首先我们将2004n质因子分解

2004n=22n∗3n∗167n

    现在如果我们对2004的所有因子求和，我们得到的肯定是这样的：

S(2004n)=20301670+20301671+...+22n3n167n

    总共(2n+1)(n+1)2项，我们先考虑2和3的次方都是0的情况，我们将其求和，发现

20301670+20301671+...+2030167n=2030(1670+1671+...+167n)

    后面是一个等比数列求和。因为我们没有考虑2和3的次方，所以还是有很多其他项的，如果我们现在将3的次方考虑进来，我们又会发现（sum(167)=1670+1671+...+167n）

2030sum(167)+2031sum(167)+...+203nsum(167)=20sum(3)sum(167)

    同理，我们如果也把2的次方考虑进来的话，这个式子就完全变成了这样

sum(2)sum(3)sum(167)=S(2004n)

    跟用积性函数得到的结果一模一样，可以说是证明了这个极性吧。

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代码

#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdio>#define mod 29using namespace std;int x;int pow_mod(int a,int k){    int ans=1;    while(k)    {        if (k&1) ans=(a*ans)%mod;        k>>=1;        a=(a*a)%mod;    }    return ans;}int main(){    while(scanf("%d",&x),x)    {        int sum1,sum2,sum3,ans;        sum1=pow_mod(2,2*x+1)-1;        sum2=((((pow_mod(3,x+1)-1)%mod+mod)%mod)*pow_mod(2,mod-2))%mod;        sum3=((((pow_mod(167,x+1)-1)%mod+mod)%mod)*pow_mod(166,mod-2))%mod;        ans=(sum1*sum2*sum3)%mod;        printf("%d\n",ans);    }    return 0;}