陶哲轩实分析-第15章 幂级数
来源:互联网 发布:北京文森特软件科技 编辑:程序博客网 时间:2024/05/18 00:00
15.1 形式幂级数
习题
15.1.1
(a)(b)
根据定理7.5.1,如果
(c)f在[a-r,a+r]上满足定理14.5.7,因为连续且有界,并且级数收敛(根据(b)),所以必然收敛到f,并且f连续
(d)根据(c),
(e)提示是不是错了,感觉应该用推论14.6.2呀
15.1.2
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
15.2 实解析函数
习题
15.2.1
归纳法,k=0,成立,归纳假设k成立,那么
k>n时,
15.2.2
对于任意a!=1,
15.2.3
对k归纳并使用定理15.1.6(d)
15.2.4
命题15.2.6中取x=a,得
15.2.5
由于x-a=(x-b)+(b-a),根据习题7.1.4,等式成立。
根据taylor公式,
而根据习题15.2.1,
15.2.6
一元多项式为
15.2.7
第一个等式两边都等于
两边同时求导m次,左边求导m次得到
右边求导m次,根据命题15.2.6得到
为什么右边收敛?用比例判别法。
15.2.8
(a)
因为b+s < a+r,b-s > a-r
所以
a-b > s-r
a-b < r-s
分3种情况a=b a < b a > b,结论都是成立的
(b)
f(x)的收敛半径大于等于r,根据定义15.1.3,有
(c)
由于
(d)
题目应该有问题,应该是
(e)
收敛性容易根据比例判别法得到
(f)
这是(e)的直接结论
15.3 Abel定理
习题
15.3.1 略,简单,而且很多书上都有。
15.4 幂级数的相乘
15.5 指数函数和对数函数
习题
15.5.1
(a)绝对收敛用比例判别法,R上为实解析函数用习题15.2.8
(b)用定理15.1.6d
(c)用定理15.1.6e
(d)根据定理15.4.1
(e)x=0的时候只有第一项非0
根据(d),exp(x+(-x))=1=exp(x)*exp(-x)
(f)对于级数中每一个对应项,如果y > x都有对应的大于关系,这样证明不知道行不行,或者根据提示,对于每一个x > 0,exp(x)第一项为1,以后每项都大于0,所以
15.5.2
数学分析原理3.32
不等式的证明比较容易,对于最后结论,假设e=p/q,那么
15.5.3
x是自然数时候,归纳成立
x是负数的时候根据定理15.5.2(e)
x是有理数p/q,则
x是实数,根据定义6.7.2,
15.5.4 0点任意导数都是0,
反证法,根据15.2.10,那么f将在0点附近被展开为f(x)=0,矛盾。
15.5.5定理15.5.6
(a)
(b)
(c)(b)中x=y=1,则
(d)
(e)引理7.3.3计算积分
15.5.6
在任意点a > 0处
15.5.7提示3种证发,前两种不确定怎么弄,最后一种用幂级数。
因为在a处是正的实解析函数,所以
15.5.8
当
数学分析原理8.6(f)的证明更简洁。
15.5.9
因为当x增大的时候,多项式的值主要由主项提供,再根据习题15.5.8,证明完成。
15.5.10
15.6谈谈复数
习题
15.6.1 引理15.6.4的证明根据定义15.6.2
15.6.2 引理15.6.6的证明根据定义15.6.2和定义15.6.5
15.6.3 可以把定义15.6.2中
15.6.4 简单,略。
15.6.5 令
15.6.6 根据提示
15.6.7 等价于
15.6.8 =>
反证法,如果zw不在一条直线,则根据三角不等式,等号不成立
<=
15.6.9=>
<=
15.6.10
根据15.6.13,Cauchy序列收敛并且收敛到复数。
15.6.11
依次证明 单射,满射
f连续,根据定义
15.6.12 对于任意a+bi,c+di,存在f(x)=a+bi+x(c+di-(a+bi)),所以任意两点都是路联通的,根据习题13.4.7,连通。
15.6.13 因为复数度量等于二维空间欧几里得度量,根据定理12.5.7,证明完成。
15.6.14 略
15.6.15
如果 i>0,i*i=-1>0,矛盾
如果 i=0,i*i=-1>0,矛盾
如果 i<0,(-i)>0 (-i)(-i)=-1>0,矛盾
15.6.16
类似推论7.5.3,只是把
令
15.7 三角函数
习题
15.7.1 根据定义15.7.1
15.7.2
反证法,假设对于任意1/n,都存在
15.7.3
(a)
(b)
(c)
综合得出
在结合(b),证明完成。
15.7.4 根据提示,分情况依次讨论。
15.7.5
左右都为复数,那么绝对值应该相等,根据引理15.6.11,有
15.7.6
如果
15.7.7
归纳法
n=1显然成立
归纳假设n成立
15.7.8
直接根据微分定义证明
15.7.9
建立恒等式只需要对上题最后等式进行积分即可
根据定理15.3.1,级数在1收敛,函数f在1连续,所以这个等式成立
15.7.10
(a)
(b)
所以
(c)根据提示,对于任意,
那么
所以微分不存在
(d)f(x)导函数不绝对收敛,所以不满足推论14.7.3
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