【NOIP2000】方格取数

题目描述

设有N*N的方格图,我们将其中的某些方格中填入正整数,而其他的方格中则放入数字0。如下图所示（见样例）：  某人从图的左上角的A 点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的B点。

在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从A点到B 点共走两次，试找出2条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

输入

第1行：1个整数N(N<=10)，表示N*N的方格图，

第2..?行：每行有3个整数，前2个表示某个方格的位置，第3个数为该位置上所放的数。

一行单独的0表示输入结束。

输出

第1行：1个整数，表示2条路径上取得的最大的和。

样例输入

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82  3  132  6   63  5   74  4  145  2  21 5  6   46  3  157  2  140  0  0

样例输出

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分析：

这是一道动规的题目。首先因为每一个格子都只能往下和右走即只有它的上面或左边的格子可以到达它。所以可以得到动态转移方程式：dp[x][y][i][j]=max{dp[x-1][y][i-1][j],dp[x][y-1][i][j-1],dp[x-1][y][i][j-1],dp[x][y-1][i-1][j]}+map[x][y]+map[i][j]。（第一条路到点x,y，第二条路到点i,j）这样时间是O(n^4)。在这个的基础上进行优化可枚举对角线把时间降到O(n^3)。

动态转移方程式为：dp[i][x][y]=max{dp[i-1][x][y],dp[i-1][x-1][y],dp[i-1][x][y-1],dp[i-1][x-1][y-1]}+map[i-x+1][x]+map[i-y+1][y]。最后输出dp[2*n-1][n][n]。

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <algorithm>#include <string.h>using namespace std;int map[15][15],dp[25][15][15],n;int main(){    int j,i,aa,x,y;    scanf("%d",&n);    while(1){        scanf("%d %d %d",&i,&j,&aa);        if((!i)&&(!j)&&(!aa))            break ;        map[i][j]=aa;    }    for(i=1;i<=2*n-1;i++)        for(x=1;x<=i;x++)            for(y=1;y<=i;y++){                int a,b,c,d;                a=dp[i-1][x-1][y];                b=dp[i-1][x][y-1];                c=dp[i-1][x-1][y-1];                d=dp[i-1][x][y];                a=max(a,b);                c=max(c,d);                if(i-y+1<=n){                    dp[i][x][y]=map[i-y+1][y]+max(a,c);                 }                   if(x!=y&&i-x+1<=n)                    dp[i][x][y]+=map[i-x+1][x];            }    printf("%d\n",dp[n*2-1][n][n]);    return 0;}