splay树

splay树，中文名一般叫做伸展树。和treap树相同，作为平衡树，它也是通过左旋和右旋来调整树的结构。

和treap树不同的是，splay树不再用一个随机的权值来进行平衡，而是用固定的调整方式来使得调整之后的树会比较平衡。在左旋右旋的基础上，splay树定义了3个操作。
1. Zig

直接根据x节点的位置，进行左旋或右旋。该操作将x节点提升了一层。
2. Zig-Zig

若p不是根节点，还有父亲节点g，且p和x同为左儿子或右儿子，则进行Zig-Zig操作：当x,p同为左儿子时，依次将p和x右旋；当x,p同为右儿子时，依次将p和x左旋。注意此处不是将x连续Zig两次。该操作将x节点提升了两层。
3. Zig-Zag

若p不是根节点，还有父亲节点g，且p和x不同为左儿子或右儿子，则进行Zig-Zag操作：当p为左儿子，x为右儿子时，将x节点先左旋再右旋；当p为右儿子，x为左儿子时，将x节点先右旋再左旋。该操作将x节点提升了两层。
进一步在Zig,Zig-Zig和Zig-Zag操作上，splay树定义了splay操作。对于x以及x的祖先y，splay(x, y)表示对x节点进行调整，使得x是y的儿子节点。

splay(x,y):While(x.father!=y)p=x.fatherIf(p.father==y) Then//因为p的父亲是y，所以只需要将x进行Zig操作//就可以使得x的父亲变为yIf(p.left==x) Thenright-rotate(x)Elseleft-rotate(x)End IfElseg=p.fatherIf(g.left==p) ThenIf(p.left==x) Then//x,p同为左儿子，Zig-Zig操作right-rotate(p)right-rotate(x)Else//p为左，x为右，Zig-Zag操作left-rotate(x)right-rotate(x)End IfElseIf (p.right==x) Then//x,p同为右儿子，Zig-Zig操作left-rotate(p)left-rotate(x)Else //p为右，x为左，Zig-Zag操作right-rotate(x)left-rotate(x)End IfEnd IfEnd IfEnd While

在执行这个操作的时候，需要保证y节点一定是x节点祖先。值得一提的是，大多数情况下我们希望通过splay操作将x旋转至整棵树的根节点。此时只需令y=NULL即可实现。
splay树的插入和查询操作和普通的二叉搜索树没有什么大的区别，需要注意的是每次插入和查询结束后，需要对访问节点做一次splay操作，将其旋转至根。

<pre name="code" class="cpp">insert(key):node=bst_insert(key) //同普通的BST插入,node为当前插入的新节点splay(node, NULL)find(key):node=bst_find(key) //同普通的BST查找,node为查找到的节点splay(node,NULL)

同时由于splay的特性，我们还有两个特殊的查询操作。在树中查找指定数key的前一个数和后一个数。我们先将key旋转至根，那么key的前一个数一定是根节点左儿子的最右子孙，同时key的后一个数一定是根节点右儿子的最左子孙。

findPrev(key):splay(find(key),NULL)node=root.leftWhile(node.right)node=node.rightReturn nodefindNext(key):splay(find(key),NULL)node=root.rightWhile(node.left)node=node.leftReturn node

splay的删除可以采用和一般二叉搜索树相同的方法：即先找到节点key，若key没有儿子则直接删去；若key有1个儿子，则用儿子替换掉x；若key有2个儿子，则通过找到其前(或后)一个节点来替换掉它，最后将该节点splay到根。同时，这里还有另一种方法来完成删除操作：首先我们查找到key的前一个数prev和后一个数next。将prev旋转至根，再将next旋转为prev的儿子。此时key节点一定是next的左儿子。那么直接将next的左儿子节点删去即可。

delete(key):prev=findPrev(key)next=findNext(key)splay(prev,NULL)splay(next,prev)next.left=NULL

这里你可能会担心如果key是数中最小或者是最大的数怎么办？一个简单的处理方式是手动加入一个超级大和超级小的值作为头尾。这里有一个问题，假如要删除一个区间[a,b]的数该怎么做？因为要删除[a,b]，那么我就要想办法把[a,b]的数旋转到一个子树上，再将这个子树删掉就行了。方法和删除一个数相同，我首先将a的前一个数prev和b的后一个数next找出来。同样将prev旋转至根，再将next旋转为prev的儿子。那么此时next的左子树一定就是所有[a,b]之间的数了！

deleteInterval(a,b):prev=findPrev(a)next=findNext(b)splay(prev,NULL)splay(next,prev)

如果a,b不在树中，把a,b插入树中，做完之后再删除。
splay树由于splay操作的使得其相较于treap树具有更大的灵活性，并且不再有随机性。其插入、查找和删除操作的均摊时间复杂度也都是O(logn)的。