算法导论--单源最短路径问题（Dijkstra算法）

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单源最短路径是指：给定源顶点s∈V到分别到其他顶点v∈V−{s}的最短路径的问题。
Dijkstra算法采用贪心策略：按路径长度递增的顺序，逐个产生各顶点的最短路径。算法过程中需要维护一个顶点集S,此顶点集保存已经找到最短路径的顶点。还需要维护一个距离数组dist, dist[i]表示第i个顶点与源结点s的距离长度。

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Dijkstra算法思路：

• S初始化时只包括源节点s;
  dist[]初始化：dist[i]= arc[s][i],arc为图的邻接矩阵。
  V−S表示未被找到最短的路径的顶点集合；
• 把dist按递增的顺序，选择一个最短路径，从V−S把对应顶点加入到S中，每次S中加入一个新顶点u , 需要对dist更新，即s能否通过顶点u达到其他顶点更近。
  即若dist[u] + arc[u][v] < dist[v],则更新
  dist[v]=dist[u]+arc[u][v]
• 重复上述步骤，直到S=V
  
  
  

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代码：

/************************************************************************CSDN 勿在浮沙筑高台 http://blog.csdn.net/luoshixian099算法导论--最短路径（Dijkstra算法）2016年7月15日************************************************************************/#include <iostream>#include <vector>#include <queue>#include <algorithm>using namespace std;#define INFINITE 0xFFFFFFFF   #define VertexData unsigned int  //顶点数据#define UINT  unsigned int#define vexCounts 6  //顶点数量char vextex[] = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F' };void AdjMatrix(unsigned int adjMat[][vexCounts])  //邻接矩阵表示法{    for (int i = 0; i < vexCounts; i++)   //初始化邻接矩阵        for (int j = 0; j < vexCounts; j++)        {           adjMat[i][j] = INFINITE;        }    adjMat[0][1] = 50; adjMat[0][2] = 10; adjMat[0][4] = 45;    adjMat[1][2] = 15; adjMat[1][4] = 10;     adjMat[2][0] = 20; adjMat[2][3] = 15;     adjMat[3][1] = 20; adjMat[3][4] = 35; adjMat[3][5] = 3;    adjMat[4][3] = 30; }void ShortestPath_DJS(unsigned int adjMat[][vexCounts],unsigned int s){    vector<VertexData> vexset; //已经找到最短路径的顶点集    vector<UINT> dist(vexCounts); //没有被找的最短路径的顶点距离信息    vector<vector<VertexData> > path(vexCounts); //每个顶点的最短路径信息    for (unsigned int i = 0; i < vexCounts; i++)    {        dist[i] = adjMat[s][i];  //初始化距离        if (dist[i] != INFINITE)//s是否有路径到达i        {            path[i].push_back(s);  //把保存最短路径            path[i].push_back(i);        }    }    vexset.push_back(s); //初始把顶点s加入vexset    for (unsigned int n = 1; n <= vexCounts-1; n++)     {        UINT min = INFINITE;        UINT k = INFINITE;        for (int i = 0; i < vexCounts;i++) //寻找下一条最短路径        {            if (find(vexset.rbegin(),vexset.rend(),i) == vexset.rend() && dist[i] < min)            {                k = i;                min = dist[i];            }        }        vexset.push_back(k); //把最短路径顶点加入vexset中        for (int i = 0; i < vexCounts;i++)  //更新dist        {            /*检测vexset中是否已经有顶点i,即i的最短路径是否已经找到。            如果没有找到，则判定是否需要更新最短路径*/            if (find(vexset.rbegin(), vexset.rend(), i) == vexset.rend()                 && adjMat[k][i] != INFINITE && dist[k]+ adjMat[k][i] < dist[i])            {                dist[i] = dist[k] + adjMat[k][i];                path[i] = path[k];                path[i].push_back(i);            }        };        /*便于观察，输出每个顶点的最短路径经过的所有其他顶点及其距离*/        cout << "Path: ";        for (int i = 0; i < path[k].size();i++)        {            cout << vextex[path[k][i]] << ",";        }        cout << "     距离="<<dist[k]<<endl;    }}int main(){    unsigned int  adjMat[vexCounts][vexCounts] = { 0 };    AdjMatrix(adjMat);   //邻接矩阵    cout << "Dijkastra : A" << endl;  //计算顶点A的最短路径    ShortestPath_DJS(adjMat, 0); //Djikstra算法，A的序号为0.    return 0;}

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Reference:
数据结构-耿国华
算法导论-第三版