限制排列与棋盘多项式

首先来说说限制排列

 

例子：

相邻禁位排列问题：在整数1，2，3，...，n的无重全排列中，要求，求全体排列数

 

分析：利用容斥不难得到

 

 

旋转木马问题：8个小孩围坐在旋转木马上，问有多少种变换座位的方法，使得每个小孩前面坐的都不是原来的小孩？

 

分析：其实做法跟上面的方法一样，只是注意这里是换排列，那么总数就应该是7！，得到结果为：

 

 

 

 

棋盘多项式：

n个不同元素的一个全排列可以看成是n个相同的棋子在n*n的棋盘上的一个布局，这个布局满足每一行或每一列只有一个棋子。

 

例如：41352对应如图。

 

那么如果把棋盘推广到任意形状

 

 

我们令表示k个棋子布到棋盘C上的方案数。所以容易知道：

 

                                  

 

这里规定

 

设是棋盘C的某一指定格子所在的行和列都去掉后所得的棋盘，是仅去掉该格子后所得到的棋盘。

 

那么有：

 

设C为一棋盘，那么称为C的棋盘多项式。

 

 

那么我们先来看它的一些性质：

 

(1)

 

推导过程：

 

(2)如果C由相互分离的组成，即的任意格子所在的行和列都没有的格子，则有：

 

 

 

所以结合上面的两个性质，我们可以得到：

 

           

 

 

 

 

 

 

 

下面介绍一个定理：

 

设为k个棋子布入禁区的方案数，则有禁区的布子方案数为(即禁区内不布棋子的方案数)：

 

 

 

那么现在我们就可以来解题了，现在给出下面的一题：

 

1，2，3，4四位工人，A,B,C,D四项任务，条件是：1不干B，2不干B,C，3不干C,D，4不干D，问有多少种方案？

 

分析：那么按照上面的思路，写出禁区的棋盘多项式

 

 

那么进一步就可以得到：

 

 

 

 

到了这里，对于错排公式，我们也可以通过棋盘多项式来认识它了。

对于它，我们可以看成是棋盘的主对角线是禁区，然后它的棋盘多项式很容易根据上述性质(2)得到是

 

所以这样我们就知道了，所以进一步得到错排公式了。