POJ 1191 棋盘分割
来源:互联网 发布:复杂网络节点中心性 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 08:31
Description
将一个8*8的棋盘进行如下分割:将原棋盘割下一块矩形棋盘并使剩下部分也是矩形,再将剩下的部分继续如此分割,这样割了(n-1)次后,连同最后剩下的矩形棋盘共有n块矩形棋盘。(每次切割都只能沿着棋盘格子的边进行)
原棋盘上每一格有一个分值,一块矩形棋盘的总分为其所含各格分值之和。现在需要把棋盘按上述规则分割成n块矩形棋盘,并使各矩形棋盘总分的均方差最小。
均方差,其中平均值,xi为第i块矩形棋盘的总分。
请编程对给出的棋盘及n,求出O’的最小值。
Input
第1行为一个整数n(1 < n < 15)。
第2行至第9行每行为8个小于100的非负整数,表示棋盘上相应格子的分值。每行相邻两数之间用一个空格分隔。
Output
仅一个数,为O’(四舍五入精确到小数点后三位)。
Sample Input
3
1 1 1 1 1 1 1 3
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 0 3
Sample Output
1.633
均方差公式比较复杂,先将其变形
S^2 = 1/n∑(Xi - X)^2
= 1/n(n*X^2 + ∑Xi^2 - 2*X∑Xi)
= 1/n∑Xi^2 - X^2;
X表示均值
由于均值是一定的(它等于方格里的数和除以n),所以只需要让每个矩形的总分的平方和尽量小
对于左上角(x1,y1),右下角(x2,y2)的正方形,设它的总和为S[x1,y1,x2,y2]
切割K次后得到的K+1块矩形的总分平方和最小值为f[k,x1,y1,x2,y2]
则它可以横着切,也可以竖着切,然后选一块切(这里用到了递归!)
如(横着切)
f[k][x1][y1][x2][y2]=min(f[k][x1][y1][x2][y2],min(dp(1,x1,y1,i,y2)+dp(k-1,i+1,y1,x2,y2),dp(k-1,x1,y1,i,y2)+dp(1,i+1,y1,x2,y2)));
本题要用到记忆化搜索,可以先全部赋值为-1
#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdio>#include<cmath>using namespace std;int n,s[9][9],f[16][9][9][9][9];int count(int x1,int y1,int x2,int y2)//求区域平方和 { int tmp=s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]; return tmp*tmp;}int dp(int k,int x1,int y1,int x2,int y2)//需要形成k个矩形 { if(f[k][x1][y1][x2][y2]>=0) return f[k][x1][y1][x2][y2]; if(k==1) return f[k][x1][y1][x2][y2]=count(x1,y1,x2,y2); f[k][x1][y1][x2][y2]=1e9; for(int i=x1;i<=x2-1;i++)//横着切 f[k][x1][y1][x2][y2]=min(f[k][x1][y1][x2][y2],min(dp(1,x1,y1,i,y2)+dp(k-1,i+1,y1,x2,y2),dp(k-1,x1,y1,i,y2)+dp(1,i+1,y1,x2,y2))); for(int i=y1;i<=y2-1;i++) f[k][x1][y1][x2][y2]=min(f[k][x1][y1][x2][y2],min(dp(1,x1,y1,x2,i)+dp(k-1,x1,i+1,x2,y2),dp(k-1,x1,y1,x2,i)+dp(1,x1,i+1,x2,y2))); return f[k][x1][y1][x2][y2];}int main(){ scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=8;i++) for(int j=1;j<=8;j++) { int x; scanf("%d",&x); s[i][j]=s[i-1][j]+s[i][j-1]-s[i-1][j-1]+x; } memset(f,-1,sizeof(f)); printf("%.3f\n",sqrt((double)dp(n,1,1,8,8)/n-(double)s[8][8]*s[8][8]/(n*n))); return 0;}
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