二分图的最大匹配 ————匈牙利算法 （转载了一个大神的趣味算法） poj3041(Asteroids)

匈牙利算法是由匈牙利数学家Edmonds于1965年提出，因而得名。匈牙利算法是基于Hall定理中充分性证明的思想，它是部图匹配最常见的算法，该算法的核心就是寻找增广路径，它是一种用增广路径求二分图最大匹配的算法。

-------等等，看得头大？那么请看下面的版本：

通过数代人的努力，你终于赶上了剩男剩女的大潮，假设你是一位光荣的新世纪媒人，在你的手上有N个剩男，M个剩女，每个人都可能对多名异性有好感（-_-||暂时不考虑特殊的性取向），如果一对男女互有好感，那么你就可以把这一对撮合在一起，现在让我们无视掉所有的单相思（好忧伤的感觉），你拥有的大概就是下面这样一张关系图，每一条连线都表示互有好感。

本着救人一命，胜造七级浮屠的原则，你想要尽可能地撮合更多的情侣，匈牙利算法的工作模式会教你这样做：

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一： 先试着给1号男生找妹子，发现第一个和他相连的1号女生还名花无主，got it，连上一条蓝线

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二：接着给2号男生找妹子，发现第一个和他相连的2号女生名花无主，got it

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三：接下来是3号男生，很遗憾1号女生已经有主了，怎么办呢？

我们试着给之前1号女生匹配的男生（也就是1号男生）另外分配一个妹子。

(黄色表示这条边被临时拆掉)

与1号男生相连的第二个女生是2号女生，但是2号女生也有主了，怎么办呢？我们再试着给2号女生的原配()重新找个妹子(注意这个步骤和上面是一样的，这是一个递归的过程)

此时发现2号男生还能找到3号女生，那么之前的问题迎刃而解了，回溯回去

2号男生可以找3号妹子~~~                  1号男生可以找2号妹子了~~~                3号男生可以找1号妹子

所以第三步最后的结果就是：

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四： 接下来是4号男生，很遗憾，按照第三步的节奏我们没法给4号男生腾出来一个妹子，我们实在是无能为力了……香吉士同学走好。

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这就是匈牙利算法的流程，其中找妹子是个递归的过程，最最关键的字就是“腾”字

其原则大概是：有机会上，没机会创造机会也要上

bool find(int x){int i,j;for (j=1;j<=m;j++){    //扫描每个妹子if (line[x][j]==true && used[j]==false)      //如果有暧昧并且还没有标记过(这里标记的意思是这次查找曾试图改变过该妹子的归属问题，但是没有成功，所以就不用瞎费工夫了）{used[j]=1;if (girl[j]==0 || find(girl[j])) { //名花无主或者能腾出个位置来，这里使用递归girl[j]=x;return true;}}}return false;}

在主程序我们这样做：每一步相当于我们上面描述的一二三四中的一步

for (i=1;i<=n;i++){memset(used,0,sizeof(used));    //这个在每一步中清空if find(i) all+=1;}

Asteroids

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Description

Bessie wants to navigate her spaceship through a dangerous asteroid field in the shape of an N x N grid (1 <= N <= 500). The grid contains K asteroids (1 <= K <= 10,000), which are conveniently located at the lattice points of the grid.

Fortunately, Bessie has a powerful weapon that can vaporize all the asteroids in any given row or column of the grid with a single shot.This weapon is quite expensive, so she wishes to use it sparingly.Given the location of all the asteroids in the field, find the minimum number of shots Bessie needs to fire to eliminate all of the asteroids.

Input

* Line 1: Two integers N and K, separated by a single space.
* Lines 2..K+1: Each line contains two space-separated integers R and C (1 <= R, C <= N) denoting the row and column coordinates of an asteroid, respectively.

Output

* Line 1: The integer representing the minimum number of times Bessie must shoot.

Sample Input

3 41 11 32 23 2

Sample Output

2

Hint

INPUT DETAILS:
The following diagram represents the data, where "X" is an asteroid and "." is empty space:
X.X
.X.
.X.

OUTPUT DETAILS:
Bessie may fire across row 1 to destroy the asteroids at (1,1) and (1,3), and then she may fire down column 2 to destroy the asteroids at (2,2) and (3,2).

Source

思路：

将每行、每列分别看作一个点，对于case的每一个行星坐标（x，y），将第x行和第y列连接起来，例如对于输入：

（1，1）、（1，3）、（2，2）、（3，2）4点构造图G：

这样，每个点就相当于图G的一条边，消灭所有点=消灭图G的所有边，又要求代价最少，即找到图G上的最少的点使得这些点覆盖了所有边。

根据定理吗， 最小点覆盖数=最大匹配数，所以本题转化为二分图的最大匹配问题——用匈牙利算法来解决。

推荐一个好的讲解匈牙利算法的博文：《趣写算法系列之--匈牙利算法》

解题思路：

把方阵看做一个特殊的二分图（以行列分别作为两个顶点集V1、V2，其中| V1|=| V2|）

然后把每行x或者每列y看成一个点，而障碍物(x,y)可以看做连接x和y的边。按照这种思路构图后。问题就转化成为选择最少的一些点(x或y)，使得从这些点与所有的边相邻，其实这就是最小点覆盖问题。

 

再利用二分图最大匹配的König定理：

最小点覆盖数 = 最大匹配数

 

（PS：最小点覆盖：假如选了一个点就相当于覆盖了以它为端点的所有边，你需要选择最少的点来覆盖图的所有的边。）

 

因此本题自然转化为求 二分图的最大匹配 问题

 

 

求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。

因此，需要寻求一种更加高效的算法——用增广路求最大匹配的方法（匈牙利算法）

 

增广路的定义(也称增广轨或交错轨)：

若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。

 

　由增广路的定义可以推出下述三个结论：

1、P的路径个数必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

2、将M和P进行取反操作可以得到一个更大的匹配M’

   （反操作：把P中的 匹配边 与 非匹配边 互换）

3、M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径P

 

　匈牙利算法轮廓：

(1)置M为空

(2)找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配M’代替M

(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止

#include<iostream>#include<fstream>using namespace std;int n, k;int v1, v2;//二分图顶点集，都等于nbool map[501][501];bool visit[501]; //记录v2中的每个点是否被搜索过int link[501]; //记录v2中的点y在v1中所匹配的点x的编号int result;//最大匹配数bool dfs(int x){for (int y = 1; y <= v2; y++){if (map[x][y] && !visit[y]){visit[y] = true;if (link[y] == 0 || dfs(link[y])){link[y] = x;return true;}}}return false;}//匈牙利算法hungary algorithmvoid search(){for (int x = 1; x <= v1; x++){memset(visit,false,sizeof(visit));if (dfs(x)) //从v1中的节点x开始寻找增广路径presult++;}}int main(){//ifstream in("input.txt");cin >> n >> k;v1 = v2 = n;int x, y;memset(map,0,sizeof(map));for (int i = 1; i <= k; i++){cin >> x >> y;map[x][y] = true;}search();cout << result << endl;//system("pause");return 0;}