HDU5803 Zhu’s Math Problem (数位DP)

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题目大意：
给出A、B、C、D(0≤A、B、C、D≤1018)四个数，求满足a+c>b+d、a+d≥b+c的四元组(a,b,c,d)的个数，其中0≤a≤A,0≤b≤B,0≤c≤C,0≤d≤D。

题解：
这题有三种解法。一种是大胆瞎猜推测答案是关于A、B、C、D的多项式，该多项式最多有24项，因此设出各项的系数，用小用例解方程组即可。
第二种暴力推公式，也可以得到一个答案的多项式 - -…推不出来..
第三种是数位DP，这个数位DP比较神奇，没写过这种数位DP。但是该题也有比较明显的特点，是给出特定区间，统计满足条件的数（四元组）的个数。同时对四个数进行数位DP，需要记录的状态是每位a+c−b−d和a+d−b−c的值。因为0≤a+b≤18，所以如果某一层的a+b−c−d≥2或a+b−c−d≤−2，我们就可以认为后面的位无法再对正负产生影响，那么只需要{−2,−1,0,1,2}五个状态就好了。每层递归内部的复杂度是104，加上字符长度20、状态25和1000组用例..爆炸了。题目的办法是将数字数字转化为2进制再进行DP，从而将每层递归的复杂度降为24，这样的复杂度就可以接受了。
通常在写数位DP的时候，为了记忆化数据对每一次查询都能够使用，我们会设置一个fp标记到当前位为止是否是上界的值。在这里我们需要设置4个上界。4数字个都不为上界的情况实际上是比较少的。因此如果只记忆化非上界的值，会有大量的重复运算。在这里只能放弃记忆化对所有查询的贡献，而要多开四维状态来记录每个数是否处于上界，这四维状态可以压位处理。因为DP数组只记录特定的查询的DP值，所以每次查询的时候需要对DP数组重新初始化。

#include <iostream>#include <cstdio>#include <algorithm>#include <vector>#include <cstring>#include <cstdlib>#include <string>#include <cmath>#include <set>#include <map>#include <bitset>using namespace std;typedef long long ll;const int mod = 1000000007;const double eps = 1e-6;const int inf = 0x3f3f3f3f;const ll INF = 100000000000000000ll;const int MAXN = 100010;const int MAXM = 300030;int d1[67],d2[67],d3[67],d4[67];int dp[67][4][4][16];int dfs(int len,int s1,int s2,int mask){    if(!len){        if(s1>0&&s2>=0) return 1;        return 0;    }    if(dp[len][s1+1][s2+1][mask] != -1) return dp[len][s1+1][s2+1][mask];    int a,b,c,d;    a = (mask&8)?d1[len]:1; b = (mask&4)?d2[len]:1; c = (mask&2)?d3[len]:1; d = (mask&1)?d4[len]:1;    int ret = 0;    for(int i = 0;i <= a;i++){        for(int j = 0;j <= b;j++){            for(int k = 0;k <= c;k++){                for(int l = 0;l <= d;l++){                    int t1 = s1*2,t2 = s2*2,t = 0;                    t1 += i+k-j-l;                    t2 += i+l-j-k;                    if(t1<-1||t2<-1){                        continue;                    }                    if(t1>1) t1 = 2;                    if(t2>1) t2 = 2;                    if(i==a) t|=8; if(j==b) t|=4; if(k==c) t|=2; if(l==d) t|=1;                    ret += dfs(len-1,t1,t2,mask&t); ret %= mod;                }            }        }    }    return dp[len][s1+1][s2+1][mask] = ret;}int f(ll a,ll b,ll c,ll d){    int len = 0;    while(a||b||c||d){        d1[++len] = a&1; d2[len] = b&1; d3[len] = c&1; d4[len] = d&1;        a>>=1; b>>=1; c>>=1; d>>=1;    }    return dfs(len,0,0,15);}int main(){    int T;    //freopen("1011.in","r",stdin);    //freopen("out","w",stdout);    cin>>T;    ll a,b,c,d;    while(T--){        memset(dp,-1,sizeof(dp));        scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d",&a,&b,&c,&d);        printf("%d\n",f(a,b,c,d));        //printf("cnt = %I64d nn = %I64d\n",cnt,nn);    }    return 0;}