漫步微积分三十二——两条曲线间的面积
来源:互联网 发布:复杂网络 机器人定位 编辑:程序博客网 时间:2024/05/29 10:09
假设我们给出了两条曲线
总面积为
我们将较小的
图1
我们建议大家不要靠死记硬背记住公式(1),并且机械的将它套用到面积问题上。我们的目标是掌握这个方法,利用几何思想与对问题从无到有的构造出所需公式都是为了达到这个目标。该方法同样适用于水平窄带,往往这样做会更方便。在这种情况下,窄带的宽度将是
作为大家的辅助手段,对用积分求面积的方法,我们列出了它所遵循的大纲:
- 画出要求的面积区域,在图上写下边界曲线的方程并找到他们的交点。
- 确定用垂直窄带(宽为
dx )还是水平窄带(宽为dy ),在图中画出一条窄带。 - 着图像并利用曲线边界的方程,写下窄带面积
dA ,也就是长和宽的乘积。将dA 完全用变量(x 或y )表示出来。 - 在
x 或y 的上下限之间积分dA ,上下限可以通过检查图像得到。
例1:曲线
我们建议大家尽可能使用对称来简化计算。在这种情况下,图像左右对称,所以我们只需计算从
正如计算展示的那样,这样做有一个好处,就是一个积分的极限是0。
图2
如果我们决定用水平窄带,那么长度就是右端的
答案跟以前一样,这并不奇怪,但不管这样令人放心。
我们曾经强调过好的图像对理解以及执行这些过程是多么重要。
例2:曲线
交点是
在这个问题中,使用水平窄带比较麻烦,因为如果
图3
例3:求出曲线
解:曲线如图4所示,面积由两个阴影部分组成。这个例子的主要特征是曲线互相交叉,所以开始是第一个曲线在上面,然后是第二个。为了求解它,我们首先需要求出交点,这就意味着我们需要求解方程
据此
因此所求的面积为
图4
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