卡特兰数

一、故事背景

  卡特兰数是离散数学中的一个重要数列，是很多生活场景的一个抽象，比如买早餐啦，买电影票啦等等。在很多大公司的笔试或者面试题中也常涉及到。

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二、卡特兰数的引出

  在x-y坐标平面上，考虑两种一格一格的移动，每一次平移我们可以上移一格，也可以下移一格，左移或者右移也是一样。姑且这样定义：

右移U:  (X,Y)——。(x+1,y)          上移U: (X,Y)——>(x,y+1)

现在问通过这两种移动每次移动一次，有多少种方法可以从点（0,0）移动到点（5,5），这显然是5个R和5个U的组合排列，共十次移动，10选5就可以了，C(10，5)

比如： RR

我们再加点限制，在这个过程中不可越过直线y=x，但可接触。于是你该知道，这样的限制意味着，移动到每一点时，所经过的R的个数一定大于或等于U的个数，如果小于则不合要求。

比如： RR

比如： RU

对于不符合限制条件的情形来说，我们先把它在第一次越过y=x点处断开，分为两个部分

RU U   U R RRUU R   

然后第一部分因为符合要求不变，第二部分做翻转操作，即R变U，U变R，于是得

RU R   R U UURR U  

其实这样的分法，我们可以想到，在第一次越过直线时分开，即会导致前面部分得U比R多一个，而后面部分的R会比U多一个，一翻转就是U比R多一个，如此，总共翻转序列后U就比R多出两个，比如此处R只有4个U却有5个。同样的道理，可知所有不满足条件的情形一一对应着4个R和6个U的排列情形，这些情况的个数就是10选4么，C(10，4)，现在你知道了，加上限制条件后方法数就是

N=C(10，5)-C(10，4)=45

于是，可以这样总结，对于任意正整数n，如果你想从点（0,0）移动到点（n,n)且不越过直线y=x的方法数为：

Kn=C(2n,n)-C(2n,n-1)

这个Kn就是传说中的卡特兰数，简单吧~~ K0=1,

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三、卡特兰数的应用

1.给乘积X1X,X3......Xn加括号的方法数

将问题转化一下，就是爬坐标，左括号数一定要大于或者等于右括号数

2.排列三个1和三个-1，使得从左到右部分和总是非负的方法数

将问题转化一下，就是加括号的方法数，排1的个数一定要大于或者等于排的-1个数

3.给定四个1和四个0，进行排列组合，使得从左往右读0的个数不超过1的个数

将问题转化为读括号，从左往右读，左括号一定要大于或等于右括号个数。

4.来个看起来复杂点的：将1 2 3 4 5 6排成两行，使得每行3个数，并且每行从左往右读值增加，每一列小数在上

我们可以想象， 1 2 3代表左括号， 4 5 6代表右括号，为了从左往右读值增加，方法会有很多，但加上小数在上大数在下，就相当于左括号数总是大于或者等于右括号数么。假设这里的“左括号”少一个，那么下面一行对应会多一个左括号，而且因为值要求从小到大排列，即每行左括号总是在前，那么在上下对齐时，由于下面左括号要多，所以下行最后一个左括号肯定对齐着上行的右括号，是不符合要求的，但上面行的左括号要多这是没问题的。

5【 阿里巴巴笔试题】： 说16个人按顺序去买烧饼，其中8个人每人身上只有一张5块钱，另外8个人每人身上只有一张10块钱。 烧饼5块一个，开始时烧饼店老板身上没有钱。 16个顾客互相不通气，每人只买一个。 问这16个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。

将问题转化为：带5块钱的排前面的个数总是要大于带10块钱的人的个数，即C(16，8)-C(16，7)

6.【腾讯笔试题】 在图书馆一共6个人在排队，3个还《面试宝典》一书，3个在借《面试宝典》一书，图书馆此时没有了面试宝典了，求他们排队的总数？

将问题转化为：还书的人总是要大于或等于借书的人，即C(6，3)-C(6，2) 

7. 出栈次序问题

一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列? 

将问题转化为：入栈的数的个数总是要大于或者等于出栈数的个数。 C(2n，n)-C(2n，n-1) 

8【阿里巴巴笔试题】 12个高矮不同的人,排成两排,每排必须是从矮到高排列,而且第二排比对应的第一排的人高,问排列方式有多少种?

C(12，6)-C(12，5)