卡特兰数 小结

一、定义：

令h(0)=1,h(1)=1，catalan数满足递推式：

h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2)

例如：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=1*1+1*1=2

h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=1*2+1*1+2*1=5

另类递推式：

h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1);

递推关系的解为：

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

递推关系的另类解为：

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

二、应用：

1、括号化问题

矩阵连乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n-1)种，n个矩阵链的一个括号化，与具有n-1个内节点n个叶节点的分析树相对应。) 

2、出栈次序

一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列? 

答：有h(n)种情形。

3、有个节点的二叉树共有多少种情形？（h(n)种）

4、买票找零

有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张50元钞票，另外n人只有100元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有100元的人买票，售票处就有50元的钞票找零？(将持50元者到达视作将50元入栈，持100元者到达视作使栈中某50元出栈)（h(n)种）

5、凸多边形三角划分

在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的方案数f（n）。比如当n=6时，f（6）=14。

6、一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

7、在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数？

8、n个非叶节点的满二叉树的形态数（对称后得到的二叉树除非自己本身对称，否则算是不同）。

解：这里要求满二叉树，实际上就是在上一点的每个子节点的空儿子上都加上叶子，就形成了我们的图了，那么我们要求的结果就是Catalan数。

9、对于一个n*n的正方形网格，每次我们能向右或者向上移动一格，那么从左下角到右上角的所有在副对角线右下方的路径总数为h(n)。

10、n层的阶梯切割为n个矩形的切法数也是h(n)。

11、在一个2*n的格子中填入1到2n这些数值使得每个格子内的数值都比其右边和上边的所有数值都小的情况数也是h(n)。

12、平面上连接可以形成凸包的2n个点分成2个一组连成n条线段，两两线段之间不相交的情况总数是h(n)。

C++代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int a[105][105];int b[105];void catalan()//求卡特兰数{    int i,j,len,carry,temp;    a[1][0]=b[1]=1;    len=1;    for(i=2; i<=100; i++)    {        for(j=0; j<len; j++)//乘法            a[i][j]=a[i-1][j]*(4*(i-1)+2);        carry=0;        for(j=0; j<len; j++)//处理相乘结果        {            temp=a[i][j]+carry;            a[i][j]=temp%10;            carry=temp/10;        }        while(carry)//进位处理        {            a[i][len++]=carry%10;            carry/=10;        }        carry=0;        for(j=len-1; j>=0; j--)//除法        {            temp=carry*10+a[i][j];            a[i][j]=temp/(i+1);            carry=temp%(i+1);        }        while(!a[i][len-1])//高位零处理            len--;        b[i]=len;//        for(int j=len-1;j>=0;j--)//        cout<<a[i][j];//        cout<<" ";    }}int main(){    int n;    while(~scanf("%d",&n))    {        catalan();        for(int j=b[n]-1; j>=0; j--)            cout<<a[n][j];        cout<<endl;    }    return 0;}

     未完待续中.......