卡特兰数

前几项为： 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786

递推公式：

通项：

若n从0开始，则

证明：由于这个递推关系不是线性的，h(n)并不依赖于前面的某个固定值，而是依赖与前面的所有值。令生成函数

将g(x)与自己相乘：

将h1=h2=1和hn的递推关系代入得到：

得

解方程

由g(x)的定义知道g(0)=0，验证上述根只有g2(x)成立，所以生成函数

由广义牛顿二项式定理得：

常见问题：

1、凸多边形三角划分

问题描述：在一个凸n边形中，通过插入内部不相交的对角线将其分成一些三角形区域，问有多少种不同的分法？

分析：令h(n)表示分一个n+1条边的凸多边形为三角形的方法数，并规定h(1)=1

n=2，h(2)=1

n=3，h(3)=2,有如下两种情况

当n=k+1,

如图，取定多边形的一个顶点，边，将多边形分成、和T三部分，则凸（n+1）边形中三角形的分法为R1中三角形分法和R2的积，即

当取

得

2、矩阵连乘

问题描述： ，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？

分析：解：设对n个矩阵的乘积有hn种方案，选取第k个数，第k个数左边（包括k）的部分有种方案，右边有种方案

当k=1，2，3，...，n得

3、出栈顺序

问题描述：一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

分析：假定k时最后出栈的数k=1，2，3，...，n，那么在k出栈之前有k-1个数进栈出栈，在k之后以n-k个数进栈出栈得

3、二叉树问题

问题描述：n个节点的二叉树的所有可能形态数

分析：考虑随便取一个节点作为根，那么他左边和右边的儿子节点个数就确定了。根节点标号为k，那么左子树的标号就从1到k-1,共k-1个，右子树的标号就从k+1到n，共n-k个，得

即

4、街区对角线问题

问题描述：一位大城市的律师在他住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果他从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？ 

分析一：

      如图，先考虑对角线下方的路径。设第一次接触对角线的位置A（k,k），它一定是由下方的点（k，k-1）而来，而起点的第一步一定是（1,0）。考虑从(1,0)到(x,x-1)的(x-1)*(x-1)的小棋盘中，因为在此中路径一直没有接触过主对角线（A的选取），所以在此小棋盘中路径也一定没有穿过从(1,0)到(k,k-1)的小棋盘的对角线L1。

     这样在这个区域中的满足条件的路径数量就是一个同构的子问题，解应该是F(k-1)，而从M到右上角终点的路径数量也是一个同构的子问题，解应该是F(n-k)。

分析二：

如图，先考虑对角线下方的路径。这些路径都是从（0,0）点出发，经过（0,1）点及（n，n-1）点到达（n，n）点的不接触对角线的路径，其中有n-1条向上，n-1条向右，故有条路径。对其中任意一条接触对角线的路径，我们可以把他从最后离开对角线的点如图（4中的A点）到（0,1）点之间的部分关于对角线做一个反射，就得到一条从（1,0）点出发经过A点到达（n，n-1）点的路径。反之，任何一条从（1,0）点出发，穿过对角线而到达（n，n-1）点的非将路径，也可以通过这样的反射对应到一条从（0,1）点出发接触到对角线而达到（n，n-1）点的路径。

       而从（0,1）走到（n，n-1）有2n条路，其中n步向右，n-1步向上，故有路径。

即共有路径。

由对称性：