牛吃草问题

 牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场

　　牛吃草问题的历史起源：英国数学家牛顿(1642—1727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰ 

　　假设定一头牛一天吃草量为“1” 
　　1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）； 
　　 2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`        3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；    4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。    这四个公式是解决消长问题的基础。 
　　由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。    牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。    解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。    这类问题的基本数量关系是： 
　　1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。 
　　2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草量。  
　　 解多块草地的方法  多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。  
　　英国大数学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？ 
　　解题关键： 
　　牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步： 
　　1、求出每天长草量； 
　　2、求出牧场原有草量； 
　　3、求出每天实际消耗原有草量
　　4、最后求出可吃天数 
　　想：这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把25头牛分成两部分来研究，用5头吃掉新长出的草，用20头吃掉原有的草，即可求出25头牛吃的天数。 
　　解：新长出的草供几头牛吃1天： 
　　（10×22-16×1O）÷(22-1O） 
　　=（220-160）÷12 
　　=60÷12 
　　=5（头） 
　　这片草供25头牛吃的天数： 
　　（10-5）×22÷（25-5） 
　　=5×22÷20 
　　=5.5（天） 
　　答：供25头牛可以吃5.5天。 
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　　“一堆草可供10头牛吃3天，这堆草可供6头牛吃几天？”这道题太简单了，一下就可求出：3×10÷6＝5（天）。如果我们把“一堆草”换成“一片正在生长的草地”，问题就不那么简单了，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化。这类工作总量不固定（均匀变化）的问题就是牛吃草问题。 
　　 
例1牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天？ 
　　分析与解：这类题难就难在牧场上草的数量每天都在发生变化，我们要想办法从变化当中找到不变的量。总草量可以分为牧场上原有的草和新生长出来的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量相同，即每天新长出的草是不变的。下面，就要设法计算出原有的草量和每天新长出的草量这两个不变量。 
　　设1头牛一天吃的草为1份。那么，10头牛20天吃200份，草被吃完；15头牛10天吃150份，草也被吃完。前者的总草量是200份，后者的总草量是150份，前者是原有的草加20天新长出的草，后者是原有的草加10天新长出的草。 
　　200－150＝50（份），20—10＝10（天）， 
　　说明牧场10天长草50份，1天长草5份。也就是说，5头牛专吃新长出来的草刚好吃完，5头牛以外的牛吃的草就是牧场上原有的草。由此得出，牧场上原有草 
　　（l0—5）× 20＝100（份）或（15—5）×10＝100（份）。 
　　现在已经知道原有草100份，每天新长出草5份。当有25头牛时，其中的5头专吃新长出来的草，剩下的20头吃原有的草，吃完需100÷20＝5（天）。 
　　所以，这片草地可供25头牛吃5天。 
　　在例1的解法中要注意三点： 
　　（1）每天新长出的草量是通过已知的两种不同情况吃掉的总草量的差及吃的天数的差计算出来的。 
　　（2）在已知的两种情况中，任选一种，假定其中几头牛专吃新长出的草，由剩下的牛吃原有的草，根据吃的天数可以计算出原有的草量。 
　　（3）在所求的问题中，让几头牛专吃新长出的草，其余的牛吃原有的草，根据原有的草量可以计算出能吃几天。 
　　 
例2  一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？ 
分析：虽然表面上没有“牛吃草”，但因为总的水量在均匀变化，“水”相当于“草” 
进水管进的水相当于新长出的草，出水管排的水相当于牛在吃草，所以也是牛吃草问题，解法自然也与例1相似。 
　　出水管所排出的水可以分为两部分：一部分是出水管打开之前原有的水量，另一部分是开始排水至排空这段时间内进水管放进的水。因为原有的水量是不变的，所以可以从比较两次排水所用的时间及排水量入手解决问题。 
　　设出水管每分钟排出水池的水为1份，则2个出水管8分钟所排的水是2×8＝16（份），3个出水管5分钟所排的水是3×5＝15（份），这两次排出的水量都包括原有水量和从开始排水至排空这段时间内的进水量。两者相减就是在8-5=3（分）内所放进的水量，所以每分钟的进水量是 
(16-15)/3=1/3(份) 
假设让1/3个出水管专门排进水管新进得水,两相抵消,其余得出水管排原有得水,可以求出原有水得水量为:(2-1/3)×8=40/3(份)或(3-1/3)×5=40/3(份) 
解:设出水管每分钟排出得水为1份,每分钟进水量(2×8-3×5)/(8-5)=1/3(份) 
进水管提前开了(2-1/3)×8÷1/3=40(分) 
答：出水管比进水管晚开40分钟。 
　　 
例3  由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？ 
　　分析与解：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但是，我们同样可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。 
　　设1头牛1天吃的草为1份。20头牛5天吃100份，15头牛6天吃90份，100-90=10（份），说明寒冷使牧场1天减少青草10份，也就是说，寒冷相当于10头牛在吃草。由“草地上的草可供20头牛吃5天”，再加上“寒冷”代表的10头牛同时在吃草，所以牧场原有草
　　（20＋10）×5＝150（份）。 
　　由 150÷10＝15知，牧场原有草可供15头牛吃 10天，寒冷占去10头牛，所以，可供5头牛吃10天。 
　　 
例4  自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？ 
　　分析：与例3比较，“总的草量”变成了“扶梯的梯级总数”，“草”变成了“梯级”，“牛”变成了“速度”，也可以看成牛吃草问题。 
　　上楼的速度可以分为两部分：一部分是男、女孩自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。男孩5分钟走了20×5＝100（级），女孩6分钟走了15×6＝90（级），女孩比男孩少走了100－90＝10（级），多用了6－5＝1（分），说明电梯1分钟走10级。由男孩5分钟到达楼上，他上楼的速度是自己的速度与扶梯的速度之和，所以扶梯共有 
　　（20＋10）×5＝150（级）。 
　　解：自动扶梯每分钟走 
　　（20×5－15×6）÷（6—5）＝10（级）， 
　　自动扶梯共有（20＋10）×5＝150（级）。 
　　答：扶梯共有150级。 
　　 
例5  某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？ 
　　分析与解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。 
　　旅客总数由两部分组成：一部分是开始检票前已经在排队的原有旅客，另一部分是开始检票后新来的旅客。 
　　设1个检票口1分钟检票的人数为1份。因为4个检票口30分钟通过（4×30）份，5个检票口20分钟通过（5×20）份，说明在（30-20）分钟内新来旅客（4×30-5×20）份，所以每分钟新来旅客 
　　（4×30-5×20）÷（30-20）=2（份）。 
　假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为 
　　（4-2）×30=60（份）或（5-2）×20=60（份）。 
　　同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要 
　　60÷（7-2）=12（分）。 
例6  有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？ 
　　分析与解：例1是在同一块草地上，现在是三块面积不同的草地。为了解决这个问题，只需将三块草地的面积统一起来。 
　　［5，6，8］＝120。 
　　因为 5公顷草地可供11头牛吃10天，120÷5＝24，所以120公顷草地可供11×24＝264（头）牛吃10天。 
　　因为6公顷草地可供12头牛吃14天，120÷6＝20，所以120公顷草地可供12×20＝240（头）牛吃14天。 
　　120÷8＝15，问题变为： 120公顷草地可供19×15＝285（头）牛吃几天？ 
　　因为草地面积相同，可忽略具体公顷数，所以原题可变为： 
　　“一块匀速生长的草地，可供264头牛吃10天，或供240头牛吃14天，那么可供285头牛吃几天？” 
　　这与例1完全一样。设1头牛1天吃的草为1份。每天新长出的草有 
　　（240×14－264×10）÷（14－10）＝180（份）。草地原有草（264—180）×10＝840（份）。可供285头牛吃 
　　840÷（285—180）＝8（天）。 
　　所以，第三块草地可供19头牛吃8天。 
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　　牛顿在其著作《普遍的算术》(1707年出版)中提出如下问题：＂12条公牛在四个星期内吃掉了三又三分之一由格尔的牧草；21条公牛在9星期吃掉10由格尔的牧草，问多少条公牛在18个星期内吃掉20由格尔的牧草？＂ 
　　（由格尔是古罗马的面积单位，1由格尔约等于2,500平方米）。这个著名的公牛问题叫做“牛顿问题”。 
　　牛顿的解法是这样的：在牧草不生产的条件下，如果12条公牛在四星期内吃掉三又三分之一由格尔的牧草、则按比例63头公牛四星期内，或16头公牛九个星期内，或八头公牛18星期内吃掉10由格尔的牧草，由于牧草在生长，所以21头公牛９星期只吃掉10由格尔牧草，即在随后的五周内，在10由格尔的草地上新长的牧草足够21-16=5头公牛吃9星期，或足够5/2头公牛吃18个星期，由此推得，14个星期（即18个星期减去初的四个星期）内新长的牧草可供7头公牛吃18个星期，因为5：14=5/2：7。前已算出，如牧草不长，则10由格尔草地牧草可供八头公牛吃18个星期，现考虑牧草生长，故应加上7头，即10由格尔草地的牧草实际可供15头公牛吃18个星期，由此按比例可算出。24由格尔草地的牧草实际可供36头公牛吃18星期。 
　　牛顿还给出代数解法：他设1由格尔草地一个星期内新长的牧草相当于面积为y由格尔，由于每头公牛每个星期所吃牧草所占的面积看成是相等的， 
　　根据题意，设若所求的公牛头数为x，则（10/3+10/3）*4y/(12*4)=(10+10*9y)/(21*9)=(24+24*18y)/18x 
解得x=36 即36条公牛在18个星期内吃掉24由格尔的牧草。 
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　　有一片牧场，已知饲牛27头，6天把草吃尽。饲牛23头，则9天吃尽。如果饲牛21头，问几天吃尽？ 
　　解：假设1头牛1天吃的草为1. 
⑴每天新长的草：（23×9-27×6）÷（9-6）=15 
⑵牧场原有的牧草：27×6-15×6=72 
⑵21头牛几天把草吃尽：72÷（21-15）=12 
　　计算这种牛顿问题，必须明确一个道理，就是牧场上的草不是固定不变的，而是在不断地生长，计算时要把这一点考虑进去。（江苏人民出版社《小学数学袖珍手册》） 
　　牛顿问题是牛顿在1707年提出的著名命题，其思想方法在实践中有重要的应用。 
没看吧主的解，试做了一下： 
设原有草X，每天长草Y，每天每牛吃草Z， 
得方程组：1、X+6Y=Z*27*6 
2、X+9Y=Z*23*9 
3、X+?Y=Z*21*? 
由1、2得Y=15Z，X=72Z，代入3， 
得到:72Z+15?Z=21?Z 
得到:?=12. 
小明步行从甲地出发到乙地，李刚骑摩托车同时从乙地出发到甲地.48分钟后两人相遇，李刚到达甲地后马上返回乙地，在第一次相遇后16分钟追上小明.如果李刚不停地往返于甲、乙两地，那么当小明到达乙地时，李刚共追上小明几次？ 

试解：根据题意，设李速度为X，小明速度为Y，得到： 
16*（X-Y）=2*48Y，得：X=7Y，即李的速度是小明的7倍，换句话说，小明走完全程时，李刚走完了七个全程的距离，到达甲地，可知，中途和小明相会7次，其中“追上”3次，